j
Название книги | Справочник по высшей математике |
Автор | Выгодский |
Год публикации | 2021 |
Издательство | АСТ |
Раздел каталога | Организация народного образования. Общая педагогика (ID = 140) |
Серия книги | Справочник |
ISBN | 978-5-17-117741-6 |
EAN13 | 9785171177416 |
Артикул | P_9785171177416 |
Количество страниц | 703 |
Тип переплета | цел. |
Формат | - |
Вес, г | 1917 |
Посмотрите, пожалуйста, возможно, уже вышло следующее издание этой книги и оно здесь представлено:
К сожалению, посмотреть онлайн и прочитать отрывки из этого издания на нашем сайте сейчас невозможно, а также недоступно скачивание и распечка PDF-файл.
М. Я. ВыгодскийСПРАВОЧНИК по ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕМосква Издательство АСТ 2021УДК 510(035) ББК22.1я2В92Выгодский, Марк Яковлевич.В92 Справочник по высшей математике / М.Я. ВыгодACT, 2021. — 703, [1] с.: ил. — (Справочники Выгодского).ISBN 978-5-17-117741-6Справочник включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших учебных заведений. ДетальКнига окажет неоценимую помощь студентам, инженерам и научным работникам.УДК 510(035)ББК 22.1я2ISBN 978-5-17-117741-6© Выгодский М.Я., 2021© ООО «Издательство АСТ», 2021СодержаниеI. Аналитическая геометрия на плоскости§ 8.§ 9.§11.§ 11а§ 12.§ 13.§ 14.§ 15.§ 16.§ 17.§ 18.§19.§ 20.§ 21.§ 22.§ 23.§ 24.§ 25.§ 26.§ 28.§ 29.§ 30.§31.§ 32.§ 33.§ 34.§ 35.§ 36.§ 37.§ 38.§39.§ 40.§41.II. Аналитическая геометрия в пространств姧|§§§§§§§10.§11.§ 12.§13.(деление вектора на вектор)§ 14.§ 42.§ 43.§ 44.§ 45.§ 46.§ 47.§ 48.§ 49.параметру/?§ 50.у = ах2 + Ьх + с§ 51.§ 52.и параболы§ 53.§ 54.§ 55.§ 56.§ 57.§ 58.§ 59.степени§ 60.общие замечания§ 61.уравнения второй степени§ 62.второй степени§ 63.нения второй степени§ 64.второго порядка§ 65.распадающуюся линию второго порядка . 72 § 66. Инварианты уравнения второй степени . 75 § 67. Три типа линий второго порядка§ 68.второго порядка§ 69.второго порядка§ 70.второго порядка§ 71.kуравнения у = -§ 72.+-~px + q§ 73.§ 74.и прямоугольными координатами§ 75.§ 76.§ 77.S 15. Проекция вектора на ось§ 16.§ 17.§ 18.§ 19.§ 20.§ 21.§ 22.§ 23.§ 24.§ 25.(параллельности) векторов§ 26.§27.§ 27§ 28.§ 29.§ 30.через координаты сомножителей§ 31.§ 32.§ 33.§ 34.§ 35.§ 36.§ 37.через координаты сомножителей§ 38.§ 39.§ 40.§ 41.§ 42.через координаты сомножителей§ 43.в координатной форме§ 44.§ 45.§ 46.§ 47.относительно системы координат§ 48.§ 49.плоскостей§ 50.§ 51.точку параллельно данной плоскости .. 128 § 52. Плоскость, проходящая через три точки 129 § 53. Отрезки на осях§ 54.§ 55.перпендикулярно данной плоскости ... 130 § 56. Плоскость, проходящая через данную точкуперпендикулярно двум плоскостям .... 130 § 57. Точка пересечения трех плоскостей. ... 131 § 58. Взаимное расположение плоскостии пары точек§ 59.§ 60.§61.§ 62.к нормальному виду§ 63.§ 64.степени представляют прямую§ 65.§ 66.§ 67.§ 69.§ 70.и перпендикулярности прямойи плоскости§ 71.§72.плоскости§ 73.§ 74.к симметричному виду§ 75.§ 76.§ 77.§ 78.§ 79.§ 80.через данную точку и данную прямую 151 § 81. У равнение п л оскости, проходящейчерез данную точку и параллельной двум данным прямым§ 82.§ 83.§ 84.из данной точки на данную прямую ..153 § 85. Длина перпендикуляра, опущенногоиз данной точки на данную прямую . . 154 § 86. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости§ 87.к двум данным прямым§ 88.прямым觧§§ 91.§§плоскость§и их порядоꧧ§§§§ 100.§ 101.§102.поверхностей второго порядка§ 104.§ 105.порядков§ 106.§ 108.определителей§ 109.к исследованию и решению системы уравнений§ 110.с тремя неизвестными§ 113.с п неизвестнымиIII.Основные понятия математического анализа§ 1.§ 2.§ 3.§ 4.§ 5.§ 6.§ 7.§ 8.§ 9.§10.§11.§12.§13.§14.§15.§ 16.§ 17.§ 18.§ 19.§ 20.§ 21.§ 22.§ 23.§ 24.§ 25.х§ 26.§ 27.§ 27а§ 28.§ 29.§ 29а§ 30.§ 31.IV.§ 1.§ 2.§ 3.§ 4.§ 5.§ 6.§ 7.§ 8.§ 9.§ 10.§ 11.§ 12.§ 13.f'(x) dx. .. 239§ 14.§ 15.§ 16.§ 17.§18.§ 19.§ 20.§21.§ 22.§ 23.§ 24.§ 25.§ 26.§ 26а§ 27.§ 28.§ 29.§ 30.§31.§ 32.§ 33.§ 33а§ 34.§ 35.§ 36.производной§ 37.§ 38.через дифференциалы§ 39.§ 40.§ 41.§ 42.§ 43.§ 44.§ 45.(Коши)§ 46.§ 47.§ 48.видов§ 49.Тейлора§ 50.§ 51.к вычислению значений функции§ 52.§ 53.функции в точке§ 53афункции в промежутке§ 54.§ 55.и минимума§ 56.и минимума§ 57.и минимумов§ 58.и минимума§ 59.значений функции§ 60.§ 61.§ 62. Правило для нахождения точекперегиба§ 63.§ 64.§ 65.§ 66.§67.§ 68.§ 69.§ 70.V.§ 1.§ 2.§ 3.§ 4.§ 5.§ 6.§ 7.§ 8.§ 9.§ 10.§11.§ 12.§ 13.§ 13а§14.0§15.§ 16.§ 17.§ 18.§ 19.§ 20.§ 21.Jax2 + bx +с) dx 361§ 22.J R (sin х, cos х) dx .. 363§ 23.§ 24.§ 25.§ 26.§ 27.§ 27а§ 28.§ 29.§ 30.§ 31.§ 32.с помощью неопределенного§ 33.§ 34.§ 35.§ 36.§ 37.§ 38.§ 39.§ 40.§ 41.§ 42.к прямоугольным координатам§ 43.§ 44.§ 45.§ 46.§ 47.§ 48.§ 49.в полярных координатах§ 50.VI.§ 1.§ 2.§ 3.§ 4.§ 5.§ 6.§ 7.§ 8.§ 9.§ 10.§ 11.§ 12.§ 13.§ 14.§ 15.§ 16.§ 17.§ 18.§ 20.§ 21.§ 22.§ 23.§ 24.VII. Ряды§ 1.§ 2.§ 3.§ 4.§ 5.§ 6.§ 7.§ 8.§ 9.§ 10.§11.§12.§ 13.ряда§ 14.§ 15.§ 16.§17.§ 18.§ 19.ряда§ 20.§ 21.§ 22.и неравномерной сходимости§ 23.§ 24.§ 25.§ 26.§ 27.§ 28.VIII. Дифференцирование и интегрирование функций нескольких аргументо⧧аргументов§аргументов§аргументов§нескольких аргументов§аргументо⧧производных для случая двух аргументов§ 9.§ 10.§11.0 выражении частной производной через дифференциал§ 12.§ 13.§ 14.fx dx ++ f' di/ + f'z dz полного дифференциала 520§15.Техника дифференцирования§ 16.§ 17.§ 18.§ 19.§ 29.§ 30.0 . . . .471§ 31.§ 32.§ 33.§ 34.§ 35.§ 36.§ 37.§ 38.§ 39.§ 40.гиперболических функций§41.0§ 42.§ 43.§ 44.в комплексную степень§ 45.§ 46.§47.о тригонометрических рядах§ 48.cos пх, sin пх§ 49.§ 50.§51.§ 52.§ 53.§ 20.§ 21.§ 22.§ 23.§ 24.§25.§ 26.§ 27.§ 28.§ 29.§ 30.§ 31.§ 32.§ 33.§ 34.§ 35.§ 36.§ 37.§ 38.§ 39.§ 40.§41.§ 42.§ 43.§ 44.§ 45.§ 46.§ 47.§ 48.§ 49.§ 50.§ 51.§ 52.§ 53.§ 54.§ 55.§ 56.§57.§ 58.IX.§§§первого порядк১первого порядка§переменными§ 7.§ 8.§ 8а§ 9.§ 10.§11.§12.§ 13.§ 14.X.§ 1.§ 2.§ 3.§§§§§§15.§ 16.§ 17.§ 18.§ 19.§ 20.§21.§ 22.§ 22а§ 23.§24.§ 25.§ 26.отельные кривые§ 9.§ 10.§ 11.§ 12.§ 13.§ 14.§ 15.Таблицы1. Натуральные логарифмы2. Таблица для перехода от натуральных логарифмов к десятичным3. Таблица для перехода от десятичныхлогарифмов к натуральным4. Таблица неопределенных интегралов .... 683Предметно-именной указательI. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ§ 1. Понятие о предмете аналитической геометрииВ элементарной геометрии изучаются свойства прямолинейных фиАналитическая геометрия возникла из потребности создать единоЭта цель была достигнута созданием координатного метода (см. ниСоздание координатного метода было подготовлено трудами древне2^. Они, однако, рассматрива2\§ 2. КоординатыКоординатами точки называются такие величины, которые определучим число х, положительное или отрицательное,1Jв зависимости от того, куда направлен отрезок ОМ (вправо или влево, если прямая горизонтальна).Число х есть координата точки М.Пьер Ферма (1601 —1665) — знаменитый французский математик, один из предшественников Ньютона и Лейбница в разработке дифференциального исчис2) Рене Декарт (1596—1650) — знаменитый французский философ и матема3) Леонард Эйлер(1707—1783) родился в Швейцарии. В 1727 г. прибыл в РосЗначение координаты х зависит от выбора начальной точки О, от вы§ 3.Положение точки на плоскости определяется двумя координатами. Простейший способ таков.Проводятся две взаимно перпендикулярные прямые Х'Х, Y'Y (рис. 2). Они называются осями координат. Одна из них Х'Х (обычно ее проводят горизонтально) называется осью абсцисс, другая Y'Y — осью ординат. Точка О их пересечения называется началом координат, или, короче, начаНа каждой оси выбирается положительное направление (обозначаеOY — на оси ординат.Принято выбирать положительные направления так, чтобы положиOY (рис. 3).Оси координат Х'Х, Y'Y (с установленными положительными на§ 4.Положение точки М на плоскости в прямоугольной системе коордиY'Y до переMQ II Х'Х до пересечения с осью УТ в точке Q. Числа х и у, измеряющие отрезки ОР и OQ в избранном масштабе (а иногда и сами эти отрезки), называются прямоугольными координатами (короче координатами) точки М. Эти числа берем полоOP, OQ. Число х называется абсциссой точки М, число у — ее ординаНа рис. 4 точка М имеет абсциссу х = 2 и ординату у = 3 (при единице масштаба 0,4 см). Это записывается так: М(2; 3). Вообще запись М(а; Ъ) означает, что точкаМ имеет абсциссух = аи ординатуУ = Ь.Примеры. Отмеченные на рис. 5 точки регистрируются так: А1(+2; +4), А2(-2; +4), А3(+2; -4), А4(-2; -4), Bt(+5; 0), В2(0; -6), 0(0; 0).Замечание. Координаты данной точки М будут иными в другой прямоугольной системе координат.§ 5.Четыре угла, образованные осями координат, ноНа рис. 5 точка Aj лежит в первом координатном углу, точка А2 — во втором, точка А4 — в третьем и точка А3 — в четвертом.Если точка лежит на оси абсцисс (например, точка Вх на рис. 5), то ее ордината у равна нулю. Если точка лежит на оси ординат (например, точ2 на рис. 5), то ее абсцисса равна нулю.§ 6.Кроме прямоугольной системы координат, используются и другие системы. Косоугольная сис- /уд /у ится так: проводятся две неперпендикулярные пря- ■мые х'Х и У'У (оси координат) (рис. 7) и дальше/ °Хпоступают так же, как при построении прямоуголь-ной системы (§ 3). Координаты х = ОР (абсцисса) рис уяснено в § 4.Прямоугольная и косоугольная системы объединяются под названиемдекартовой системы координат.Наряду с декартовой применяются и другие системы координат (наи§ 7.Рассмотрим уравнение х + у = 3, связывающее абсциссу х и ординату у. Ему удовлетворяет множество пар значений х, у, например, х = 1 и у = 2, х = 2и г/ = 1, х = 3и у = 0, х = 4и у = -1 ит. д. Каждой паре координат (в данной системе координат) соответствует одна точка (§ 4). На рис. 8 а изображены точки Ах(1; 2), А2(2; 1), А3(3; 0), А4(4; -1). Они лежат на одной прямой UV. На этой же прямой лежит всякая другая точка, коордиUV, координаты х, у удовлетворяют уравнению х + у = 3.Согласно с этим говорят: уравнение х 4- у = 3 есть уравнение прямой линии UV. Говорят также: уравнение х + у = 3 представляет прямую UV. В аналогичном смысле надо понимать выражения: «уравнение прямой линии ST (рис. 8 б) есть у = 2х».Уравнение х2 + у2 = 49 представляет окружность (рис. 9), радиус коа)Рис. 8Вообще уравнение, связывающее координаты х, у, называется уравL, если соблюдены два условия: 1) координаты х, у всякой точки М линии L удовлетворяют этому уравнению', 2) координаты х, у всякой точки, не лежащей на линии L, не удовлетворяют этому уравКоординаты точки М, взятой на линии L произвольным образом, наL может быть образоПусть М15 М2, М3,... (рис. 10) — последовательные положения точки М на лиL. Построим ряд перпендикуляров М1Р1, М2Р2, ^з-^з» ••• к оси ОХ. Получим идущие друг за другом отрезки PiM1? Р2М2, Р3М3, .... На оси ОХ отсекаются при этом отрезки ОРр ОР2, ОР2,.... Они будут абсциссами. С этим связано происхож(abscissa) в переводе означает «отсеченная»; слово «ордината» есть сокращение термина «ор- динатим дукта» (ordinatim ducta), что означает «подряд проведенная».Представляя каждую точку плоскости ее координатами, а каждую линию — уравнением, связывающим текущие координаты, мы сводим геометрическую за§ 8.Чтобы ответить на вопрос, лежит ли точка М на некоторой линии L, достаточно знать координаты точки М и уравнение линии L. Если коорL, то М лежит на L; в противном случае не лежит.Пример. Лежит ли точка М(5; 5) на окружности х2 + у2 = 49 (§ 7)?Решение. Подставим значения х = 5, у = 5 в уравнение х2 + у2 = 49. Так как уравнение не удовлетворяется, то точка М не лежит на рассмат§ 9.Чтобы ответить на вопрос, есть ли у двух линий общие точки и если да, то сколько, достаточно знать уравнения этих линий. Если уравнения совместны, то общие точки есть, в противном случае их нет. Число общих точек равно числу решений системы уравнений.Пример 1. Прямая линия х + у = 3 (§ 7) и окружность х2 + у2 = 49 имеют две общие точки, так как система(х + у = 3, [х2 + у2 = 49имеет два решения:Х1 = 3 + ^89 s 6 22; 3 - j/89 = _3 22Их2 == -322, у2 = 3+^ = 6,22.Пример 2. Прямая линия х + у = 3 и окружность х2 + у2 = 4 не имеют общих точек, так как система(х + у = 3, |х2 + у2 = 4не имеет решений (действительных).§ 10. Расстояние между двумя точкамиРасстояние d между точками А1(х1; ух) иА2(х2; у2) выражается форd = ^(х2-х1)2 + (у2-у1)2 .Пример. Расстояние между точками М(-2,3; 4,0) и 2V(8,5; 0,7) соd = 7(8,5 + 2,3)2 + (0,7 - 4)2 = 710,82 + 3,32 =11,3(масштабных единиц).Замечание 1. Порядок точек М и АГ не играет роли; можно N счиЗамечание 2. Расстояние d считается положительным; поэтому в формуле (1) корень берется с одним знаком (плюс).§ 11. Деление отрезка в данном отношенииДаны точки А1(х1; у1),А2(х2; у2) (рис. 11). Требуется найти координа1А2, в отношенииAjK : КА2 = т1: т2.Решение дается формулами_ т2х1 + тхх2 т1 + т2 ’_1у2т1 + т2Если отношение т1 : т2 обозначить буквой X, то формулы (1) примут несимметричный видXi+Xx2 _ уг + Ху2 х Тй-’ у Т+л~‘(2)Пример 1. Даны точка В(6; -4) и точка О, совпадающая с началом координат. Найти точку К, делящую ВО в отношении 2:3.Решение. В формулы (1) надо подставить:т1 = 2, тп2 = 3, хг = 6, уг = -4, х2 = 0,у2 = 0.Получаем:х=^=3,6, j/ = -^ =-2,4. 5Это — координаты искомой точки К.Замечание 1. Выражение «точка К делит отрезок АгА2 в отноше1 : т2» означает, что отношение т1 : т2 равно отношению отрезков А±К : КА2, взятых именно в этом (а не в обратном) порядке. В примере 1 точка 1С(3,6; -2,4) делит отрезок ВО в отношении 2 : 3, а отрезок ОВ — в отношении 3:2.Замечание 2. Пусть точка К делит отрезок АгА2 внешним образом, т. е. лежит на продолжении отрезка АгА2, тогда формулы (1) и (2) сохраг: т2 = X приписать отрицательный знак.Пример 2. Даны точки Ах(1; 2) иА2(3; 3). Найти на продолжении отрезка АгА2 точку, отстоящую от Аг вдвое дальше, чем отА2.Решение. Имеем X = тг : т2 = -2 (так что можно положить = -2, т2 = 1 или тх = 2, т2 = -1). По формулам (1) находим:х=1-1 + (-2)-3=512±е.2).3 =4-2+1я -2+1