j Репетитор по геометрии для 7-9 классов. Автор Балаян / Купить книгу, доставка почтой, скачать бесплатно, читать онлайн, низкие цены со скидкой, ISBN 978-5-222-34146-9

{{common_error}}
СКИДКИ! При заказе книг на сумму от 1500 руб. – скидка 50% от стоимости доставки в пункты выдачи BoxBerry и CDEK,
при заказе книг на сумму от 3000 руб. — скидка 80% от стоимости доставки в пункты выдачи BoxBerry и CDEK.

Репетитор по геометрии для 7-9 классов. (Балаян)Купить книгу, доставка почтой, скачать бесплатно, читать онлайн, низкие цены со скидкой, ISBN 978-5-222-34146-9

Репетитор по геометрии для 7-9 классов
Название книги Репетитор по геометрии для 7-9 классов
Автор Балаян
Год публикации 2021
Издательство Феникс
Раздел каталога Учебники и учебные пособия по гуманитарным, естественно- научным, общественным дисциплинам (ID = 144)
Серия книги Большая перемена
ISBN 978-5-222-34146-9
EAN13 9785222341469
Артикул 978-5-222-34146-9
Количество страниц 359
Тип переплета мяг.цел.*
Формат 70*100/16
Вес, г 349

Посмотрите, пожалуйста, возможно, уже вышло следующее издание этой книги и оно здесь представлено:

Аннотация к книге "Репетитор по геометрии для 7-9 классов"
автор Балаян

Предлагаемая книга написана на основе действующей программы по геометрии для 7-9 классов общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Она содержит более 1500 задач, из которых 300 даны с подробными решениями и обоснованиями. Задачный материал дан на готовых чертежах и разбит на две части: "Б" - базовый и "П" - профильный уровни. Для удобства пользования книгой приводятся краткие теоретические сведения по курсу планиметрии, сопровождаемые определениями, теоремами, основными свойствами и необходимыми справочными материалами. Каждый параграф содержит образцы решения задач и задачи для самостоятельного решения. В конце книги приводятся ответы ко всем задачам на вычисление. Репетитор предназначен для самостоятельной подготовки к ОГЭ, ЕГЭ, а также к урокам геометрии. Рекомендован старшеклассникам и абитуриентам общеобразовательных школ, гимназий, лицеев, а также студентам педвузов и репетиторам.

Читать онлайн выдержки из книги "Репетитор по геометрии для 7-9 классов"
(Автор Балаян)

К сожалению, посмотреть онлайн и прочитать отрывки из этого издания на нашем сайте сейчас невозможно, а также недоступно скачивание и распечка PDF-файл.

До книги"Репетитор по геометрии для 7-9 классов"
Вы также смотрели...

Другие книги серии "Большая перемена"

Другие книги раздела "Учебники и учебные пособия по гуманитарным, естественно- научным, общественным дисциплинам"

Читать онлайн выдержки из книги "Репетитор по геометрии для 7-9 классов" (Автор Балаян)

Большая перемена
Э. Н. Балаян
РЕПЕТИТОР ПО ГЕОМЕТРИИ
для 7-9 классов

Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ

Краткие теоретические сведения

300 задач с решениями

Более 1200 задач для самостоятельного решения

Ростов-на-Дону
{феникс
2021
УДК 373.167.1:514
ББК 22.14я72
КТК 444
Б20
Балаян Э. Н.
Б20 Репетитор по геометрии для 7-9 классов / Э. Н. Балаян. — Рос
ISBN 978-5-222-34146-9
Предлагаемая книга написана на основе действующей программы по геомет
Заданный материал дан на готовых чертежах и разбит на две части: «Б» — ба
Для удобства пользования книгой приводятся краткие теоретические сведе
Каждый параграф содержит образцы решения задач и задачи для самостоя
Репетитор предназначен для самостоятельной подготовки к ОГЭ, ЕГЭ, а также к урокам геометрии. Рекомендован старшеклассникам и абитуриентам общеобра
УДК 371.167.1:514 ISBN 978-5-222-34146-9
© Балаян Э. Н., 2021
© Оформление, ООО «Феникс», 2021
Посвящается светлой памяти моих учителей: Льва Семеновича Марковича, Нонны Владимировны Хуриновой, Ефима Лазаревича Розенблюма.
Предисловие
Предлагаемая вниманию читателя книга предназначена для самостоя
Не секрет, что решение геометрических задач вызывает у учеников большие трудности, тем более что геометрия как предмет является объ
Цель настоящей книги — помочь ученикам эффективно подготовить
Учитывая различный уровень подготовки каждого ученика и их спо
Задачи первой части (группа «Б») соответствуют заданиям базового уровня, а задачи второй части (группа «П») являются более сложными и соответствуют заданиям профильного уровня. Упражнения этой части могут быть использованы для организации индивидуальной работы на уроках с сильными учениками, на факультативных занятиях, олим
Книга состоит из 12 глав, каждая из них содержит несколько пара
В главе I содержатся краткие теоретические сведения и справочные материалы по курсу планиметрии 7-9 классов.
Во II-XII главах приводятся задачи с решениями и для самостоятель
7 класс охватывает главы II-V, 8 — VI-IX, 9 — Х-ХП.
Отметим, что приступать к решению задач группы «П» целесообраз
В дополнение к этой книге и для основательной подготовки к ОГЭ и ЕГЭ автор рекомендует использовать вышедшие в издательстве «Феникс» книги: «Геометрия. Задачи для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. 7-9 классы», 2020, «Репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов», 2020.
Глава I
Краткие теоретические сведения по курсу планиметрии 7-9 классов

Углы

Углом называется геометрическая фигура (рис. 1), образованная дву
Точка О — вершина угла, а лучи ОА и ОВ — стороны угла.
Обозначение: ZAOB или Zab.
Угол в 90° называется прямым (рис. 2).
Угол, меньший прямого, называется острым (рис. 8).
Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется ту(рис. 4).
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла яв
ZAOC и ZDOB’, ZBOC и ZAOD вертикальные.
Вертикальные углы равны: ZAOC = ZDOB и ZBOC = ZAOD.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию (рис. 6), ZAOC и ZBOC смежные.
Сумма смежных углов равна 180°.
Биссектрисой угла называется луч, проходящий между сторонами угла и делящий его пополам (рис. 7).
Биссектрисы вертикальных углов составляют продолжение друг дру
Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны (рис. 9).
При пересечении двух прямых а и b третьей с (секущей) образуется 8 углов (рис. 10):
соответственные углы:
Z1 и Z5, Z2 и Z6, Z4 и Z8, Z3 и Z7;
внутренние накрест лежащие:
Z4 и Z6, Z3 и Z5;
внешние накрест лежащие:
Z1 и Z7, Z2 и Z8;
внутренние односторонние:
Z4 и Z5, Z3 и Z6;
внешние односторонние:
Z1 и Z8, Z2 и Z7.

Многоугольник

ABCDE пятиугольник (рис. 11).
Точки А, В, С, D, Е — вершины многоугольника; ZA, ZB, ZC, ZD, Z.E углы; АВ, ВС, CD и т. д. — стороны; отрезки AC, AD, BE, BD, СЕ — диагонали; Р = АВ + ВС + ... + ЕА — периметр многоугольника.
Многоугольник называется выпуклым (рис. 11), если он целиком расположен по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. В противном случае многоугольник называется невыпуклым (рис. 12).
Свойства:

Сумма внутренних углов произвольного тг-угольника равна 180° • (п - 2).

Сумма внешних углов выпуклого тг-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

В выпуклом n-угольнике из каждой вершины можно провести (п - 3) диагоналей, которые разбивают тг-угольник на (п - 2) треуголь

В выпуклом тг-угольнике число диагоналей равно — п(п - 3).

2

Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник, у которого равны все углы и стороны, направильным.
Свойства:

.

Каждый угол правильного тг-угольника равен аге =

п

Около правильного тг-угольника можно описать окружность, и при

В правильный тг-угольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Окружность, вписанная в правильный тг-угольник, касается всех сторон тг-угольника в их серединах.

Центр окружности, описанной около правильного тг-угольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же тг-угольник.

Длина стороны правильного тг-угольника, вписанного в окружность 180°

радиуса R, равна a = 2R sin.
n

Длина стороны правильного тг-угольника, описанного около п х 180°

окружности радиуса г, равна a = 2r tg.
тг

Треугольник

Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, последова
Точки А, В, С — вершины ДАВС.
Отрезки АВ, ВС и АС — стороны, ZA, Z.B и ZC углы.
Стороны треугольника часто обозначают малыми буквами (рис. 13):
Р = a + Ь + с — периметр треугольника.
Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным (рис. 13).
Треугольник, у которого угол прямой, называется прямоугольным (рис. 14).
Стороны, образующие прямой угол, называются катетами и 6), а сторона, лежащая против прямого угла, — гипотенузой (с).
Треугольник с тупым углом называется тупоугольным (рис. 15).
Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным (рис. 16).
Равные стороны называются боковыа третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис. 17).
Рис. 17
Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
Свойства равнобедренного треугольника

Углы при основании равны.

Биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой.

Высота, проведенная к основанию, является одновременно медиа

Медиана, проведенная к основанию, является одновременно высо

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким- нибудь углом этого треугольника (рис. 18).
ZCBD внешний угол треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним (рис. 18): Z.CBD = ZA + Z.C.
Отрезок, соединяющий середины двух сторон, называется средней линией треугольника (рис. 19).
I признак (признак равенства по двум сторонам и углу между ними)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие тре
AB=A1B1,AC=A1CltZA = ZA1.
II признак (признак равенства по стороне и прилежащим к ней углам)
Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответствен
АВ = А1В1, ZA = ZA1, ZB = ZB Р
III признак (признак равенства по трем сторонам)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам дру
АВ = А]ВЪ ВС = ВЛ, АС = АЛ.
6. Неравенства треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон: а<Ь + с, Ь <а + с, с <а + Ь.
7. Определение вида треугольника по его сторонам
Пусть с — наибольшая сторона, тогда:

если с2 < а2 + Ь2, то треугольник — остроугольный;

если с2 > а2 + Ь2, то треугольник — тупоугольный;

если с2 = а2 + Ь2, то треугольник — прямоугольный.

8. Прямоугольные треугольники (некоторые свойства)
1) Сумма острых углов равна 90° (рис. 23).
ZA + ZB = 90°.
2) Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипо
а = — с. 2
3) Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30° (рис. 24).
9. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольно

АС = А]С^, ВС = -В]Ср

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны кате

АС=А1С1, ZA = ZAi.

Если гипотенуза и острый угол одно

АВ =AiB!, ZA = ZAP

Если гипотенуза и катет одного пря

АВ = A]Bi, АС = AjCi.

Четыре замечательные точки треугольника

С каждым треугольником связаны 4 точки:

точка пересечения медиан;

точка пересечения биссектрис;

точка пересечения высот (или их продолжений);

точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Эти четыре точки называются замечательными точ
Высотой треугольника называется длина перпен
В тупоугольном треугольнике (рис. 29) две высо
В остроугольном треугольнике (рис. 30) все три высоты лежат внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике катеты одновре
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. В тупоуголь ортоцентр лежит вне треугольнипрямоугольном треугольнике он совпадает с вершиной прямого угла.
Медианой треугольника называется отрезок, со
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром тяжести треуголь
Эта точка делит каждую медиану в отношении 2 : 1 (считая от соответствующей вершины).
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла от вершины до пересечения с про
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанно(рис. 33).
Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные через их середины (рис. 34, 35, 36), пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности.
В тупоугольном треугольнике (рис. 34) эта точка лежит вне треугольника, в остроугольном (рис. 35) — внутри, в прямоугольном — на середине гипотенузы.
Ортоцентр, центр тяжести, центр вписанной и описанной окружноравностороннем треугольнике.

Произвольный треугольник

1) Свойство биссектрисы (рис. 37) внутренне
а _ Oi b ~
2) Длина биссектрисы:
lc = yjab-a^ ;
_ yjabfa + b + с)(а + b-c)
''С ~
а + Ь
3) Длина медианы:
тс=+ b )-с .
2
4) Длина высоты:
hc = ~^р{р-а)(р-Ъ)(р-с), с
где а, Ь, с — стороны треугольника;
р = — (а + Ь + с) — полупериметр;
2
hc высота, проведенная к стороне с.
5) Зависимость между сторонами и высотами:
1. г. к 111 ha:hb:hc= - : - : -.
a Ъ с
6) Зависимость между высотами и радиусом вписанной окружности:
± + А + А = 1.
ha \ hc Г
12. Теорема Чевы
Для того чтобы прямые BE, AD и CF (рис. 38) пересекались в одной точке, необ
BD СЕ AF _ !
CD АЕ BF
13. Теорема Менелая
Если на сторонах ВС, АВ и продолжении стороны АС ААВС за точку С отмечены соответственно точки Alf Ci
и Blf лежащие на одной прямой, то
АС} ВАг СВ1
СГВ АгС В1А
= 1 (рис. 39).

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противо
ЬС- - 2R.
sin a sinpу
где R радиус окружности, описанной около треугольника.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на коси
а2 = Ь2 + с2 - 2bc cos а;
Ь2 = с2 + а2 - 2са cos 0;
с2 = а2 + Ь2 - 2аЬ cos у.

Плошадь треугольника l)S=±ahai

Л

S = ab sin у;

S = д/р(р - а)(р - Ь)(р - с) (формула Герона);

S = р г, где р = — (а + Ь + с);

2
5)5-^;
_ a2 sin В sin С о) о =
2 sin А

Равносторонний (правильный) треугольник

Треугольник, у которого все стороны равны, назы
S =; а = Ял/з = л/З ;
4
a u _ ау/з
ъ/з’ 2Г'

Подобные треугольники

Два треугольника называются подобныесли их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропор
AB = ВС = CA
ArBY B1C1 C1A1
АВ и AiB1? ВС и В^^, АС и AiCi сходственные стороны.
Из подобия треугольников следует:
ZA = ZAi, ZB = ZBi, ZC = ZCi.
где k — коэффициент подобия.
Обозначение: ААВС ~ l^AiBiCi.
Если два треугольника подобны, то отношение их площадей равно /г2, т. е. вддвс : 'S'aajBjCj =

Признаки подобия треугольников

I признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие тре
ZA=A1? ZB = BP
II признак: если две стороны од
ZA = ZA1?
АВ = АС AiBl
III признак: если три стороны од
АВ = ВС = АС
А1В1 В1С1 АгСг
Площади подобных фигур (в частности, многоугольников) пропорцио
В частности, площади кругов относятся как квадраты радиусов (или диаметров).

Четырехугольник

Произвольный выпуклый (di xd2 диаго

S = — did2 sin ф.
2

Вписанный (рис. 46).

а + у = р + 5= 180°.
В любом вписанном четырехугольнике сум
ас + bd = d]d2 (теорема Птолемея).
S = yl(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), где р = (а + b + с + d).
Л

Описанный.

В любом описанном четырехугольни
a + с = b + d, S = р • г.
21. Параллелограмм
Параллелограммом называется четырехАВ || DC, AD || ВС
и Ь — смежные стороны; а — угол между ними; ha высота, проведенная к стороне а).
df + df = 2(а2 + b2) зависимость меж
<8 = a ha = ab sin a = — d]d2 sin cp — площадь параллелограмма.
2
Некоторые свойства:

В параллелограмме противоположные стороны и углы равны (АВ = = DC, AD = ВС, ZA = ZC, ZB = ZD).

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам (АО = ОС; ВО = OD).

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (ZA + ZB = 180° и т. д.).

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника (AADC = ААВС, AABD = = ,\BCD).

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник (рис. 49).

Признаки параллелограмма (рис. 48)

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны (АВ = = DC, АВ || CD), то такой четырехугольник — параллелограмм.

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно рав(АВ = DC, AD = ВС), то такой четырехугольник — параллелограмм.

Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны (ZA = АС, АВ = AD), то такой четырехугольник — параллелограмм.

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и в точке пересе

22. Трапеция
а и Ъ - основания; h высота; и с?2 — диагонали; ср — угол между ними (рис. 50).
Трапецией называется четырехуголь
АВ || DC, АВ и DC основания трапеAD и ВС — боковые стороны.
Отрезок I, соединяющий середины босредней лини
I = — (а + Ь) — длина средней линии трапеции.
m || а || b, m =
2аЬ а + Ь
AA + AD= 180° ; АВ + АС = 180°.
<8 = I • h = — (а + Ь) • h = di d2 sin ср площадь трапеции.
Равнобедренная трапеция
Если у трапеции боковые стороны равравно(рис. 51).
AD = BC.
В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны (АА = АВ, АС = AD) и диагонали равны (АС = BD).
АЕ=±(а-Ь).
Если АС 1BD, то S = h2.
АВ + CD = 2AD (рис. 52).
h = 2г, где г — радиус вписанной окружности; h = л/о& .
R радиус описанной окружности.
Точка О — центр окружности, описанной около любого треугольни
Прямоугольная трапеция
Если в трапеции один из углов прямой, то такая трапеция называется прямоугольной (рис. 54).
Z.D = ZC = 90°.
BE = CD = h (высота трапеции).
АЕ = a-b.
23. Прямоугольник
Прямоугольником называется параллело
Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма. Кроме того, у прямоуголь
Стороны прямоугольника одновременно яв
d2 = a2 + b2.
S = ab = — d2 sin
2
24. Ромб
Ромбом называется параллелограмм, у ко
Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми его свойствами.
Кроме того, диагонали ромба взаимно пер
АС 1BD.
АС — биссектриса углов ZA и ZC; BD биссектриса углов ZB и ZD.
+ d% = la2.
S = а • ha = a2 sin a = — d± • d2 площадь ромба.
25. Квадрат
Квадратом называется прямоугольник, у которо
Можно сказать, что квадрат — это ромб с прямым углом.
Квадрат обладает всеми свойствами прямоуголь
Основные свойства
1. У квадрата все углы прямые.
2. У квадрата диагонали равны, взаимно перпендикулярны и явля
26. Окружность
Окружностью называется геометрическое мес
Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности, называется радиусом.
Обозначение: г или R.
На рисунке ОС = ОЕ = OD = R.
Часть окружности (например, CmD) называ
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой, а хорда, проходящая через центр, — диаметром.
АВ, ВС, CD и СЕ — хорды окружности; СЕ — наибольшая из хорд — диаметр.
Обозначение: d или D.
D = 2R.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Часть круга, ограниченная дугой (CmD) и стягивающей ее хордой (CD), называется сегментом.
Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сек
Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным (Z.COD на рис. 58).
Угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным (например, ZABC).
27. Свойства касательных к окружности
Угол, образованный двумя касатель(СА и СВ), исходящими из одной точки, называется описанным (ZACB на рис. 59).
1. Радиус, проведенный в точку каса
2. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.

Окружность и треугольник

Около всякого треугольника можно описать окруж

Во всякий тре

Окружность и четырехугольник

Для того чтобы около четырехугольника мож

Для того чтобы в че

Рис.62 ходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон были равны (рис. 63).
a + с = b + d.Рис.63

Углы и окружность

Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается (рис. 64). ZAO В = vjAmB.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирает
ZABC = 1uAmC.
2
Угол между хордой и касательной измеряется половиной дуги, за
Угол между двумя касательными измеряется полуразностью дуг (рис. 67).
ZABC = l(uAmC - uAnC).
Угол между двумя хордами измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается (рис. 68).
ZAEC = ± (uAmC + uBnD).
Угол между секущими измеряется полуразностью дуг между ними (рис. 69).
ZABC = (yjAmC -

Метрические соотношения в окружности

Если хорды АВ и CD пересекаются в точке Е, то произведение от(рис. 71).
АЕ • ЕВ = СЕ • ED.
Если из точки В к окружности проведены две секущие BDA и ВЕС, то
DB • АВ = ЕВ • СВ (рис. 72).
Если из точки В к окружности проведены секущая BDA и касательВС, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной (рис. 73).

Длина окружности. Плошадь круга и его частей

С = 2л7? = nD длина окружности;
. nRn°
Z =
SKp = л7?2 = — izD2 = — CR площадь круга;
С
л = — ~ 3,14 — отношение длины окружности к ее диаметру;
nR2n,
5сект.
ooU

Понятие вектора

Вектором называется направленный отре- зок (рис. 75).а
Всякий вектор характеризуется:

начальной точкой;А •

направлением;

длиной (модулем).

Длиной (модулем) ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ и обозначается | АВ| или |о|.

Равенство векторов

Если ненулевые векторы лежат на одной прямой или параллельных прямых, то они называются коллинеарными (рис. 76).
Коллинеарные векторы: a, in, CD, КР, АА = б. Неколлинеарные векторы: CD и ST, КР и ST.
Коллинеарные векторы называсонаправленными, если они имеют одинаковые направления.
Например, а ТТ иг, а ТТ КР, т^КР.
Коллинеарные векторы называются противоположно направленными, если они имеют разные направ
Например, а и CD , in и CD , CD и КР .
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Координаты вектора

Пусть А(х±;— начало вектора а, В(х2; г/г) — конец вектора а. (рис. 75).
Координатами вектора а называют числа = х2 - «1, а2 = г/г _ У1 и обозначают а(ах; а2).
Тогда абсолютная величина (модуль) вектора с координатами а2 равна |a| = -Jof + «2'
Если векторы равны, то у них равны соответствующие координаты. И обратно, если у векторов равны соответствующие координаты, то век

Действия над векторами

Сумма двух векторов.

Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство (рис. 77):
АВ + ВС = АС (правило треугольника), или а + 6 = с.

Векторы складываются геометричеса и 5, имеющих общее начало, изображается диагональю паралле

Для векторов справедливы переместительный и сочетательный законы сложения:

а + В = В + а и а + (В + с) = (а + В) + с.

Разностью векторов а^; а2) и В(Ь1; Ь2) называется такой вектор c(ci", с2), который в сумме с вектором В дает вектор а, т. е.

В + с = а (рис. 79).

Умножение вектора на число.

Произведением вектора a(ai; а2) на число k называется вектор ka(kai; ka2).
Из определения следует, что:
1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;
2) для любого числа k и любого вектора а векторы auka коллинеарны. Основные свойства умножения вектора на число:

(kl)a = k(la) — сочетательный закон;

(k + l)a = ka + la — I распределительный закон;

k(a + В) = ka + kB — II распределительный закон.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называ
а • В = |а| • |б| • cos а.

Если а ± В, то а = 90°, cos а = 0, тогда а • В = 0.

ел»
Верно и обратное: если а • В = 0, то а ± В.Рис. 80

Если а < 90°, то а • В > 0; если а > 90°, то а • В < 0.

Скалярное произведение в координатах

Если а{хх; уг}, В{х2; у2}, то а • В = хгх2 + уху2.
Следствие 1. а ± В тогда и только тогда, когда хгх2 + у\у2 = 0.
_ _9 + у.у9
Следствие 2. cosa= ,a — угол между ненулевы-
4Х1 + У1 ' у Х2 + У 2
ми векторами a{xi; yi}, В{х2; у2}.

Свойства скалярного произведения векторов

а • а = |а|2;

а • В = В • а (переместительный закон);

(а + В) • с = а • с + В • с (распределительный закон);

(ka) • В = k(a • В) (сочетательный закон).

40. Уравнение окружности
Если центром окружности является начало координат (рис. 81), то уравнение окружности имеет вид
х2 + у2 = R2. у
Если центр окружности M(xq, у0), то урав
(х - х0)2 + (у~ Уо)2 = R2.
41. Уравнение прямой
1) Любая прямая в декартовых коор
динатах х и у задается уравнением вида
ах + Ъу + с = 0, где а и Ъ — коэффициенты при неизвестных, с — свободный член.

Если а = 0, Ъ 0, то у = ~— — уравнение Ь

прямой, параллельной оси Ох (рис. 83).
Q

Если b = 0, а Ф 0, то х = — — уравнение а

прямой, параллельной оси Оу (рис. 84).

Если с = 0, а Ф 0, Ь Ф 0, то ах + by = 0 — уравнение прямой, проходящей через начало координат (0; 0) (рис. 85).

Рис. 84
7 КЛАСС
Глава II
Начальные геометрические сведения
§ 1. Измерение отрезков
Пример 1.
MN = 21,
KN-MK = 3.м кN
МК, KN-?
Решение.
I способ
Пусть МК = х, тогда KN = х + 3. По условию MN = 21. Но MN = = МК + KN. Значит, х + (х + 3) = 21, 2х + 3 = 21, 2х = 18, откуда х = 9.
Следовательно, МК = х = 9, KN = х + 3 = 12.
II способ
Пусть МК = х, KN = у. Так как KN - МК = 3, то получим у - х = 3. По условию MN = 21, или х + у = 21. Имеем систему уравнений:
(х + у = 21, [у-х = 3.
Складывая и вычитая левые и правые части уравнений системы, на
Г2г/ = 21 + 3, Г2г/ = 24, у = 12, [2х = 21-3; [2х = 18; х-9.
Ответ: МК = 9,KN = 12.
Пример 2.
MR = 24,।।
ER = ЗМЕ.ME
ME, ER — ?
Решение.
Пусть ME = x, тогда ER = Зх. Так как MR = 24 и MR = ME + ER, то получим уравнение х + Зх = 24, или 4х = 24, х = 6. Значит, ME = 6, ER = 6 • 3 = 18.
Ответ: ME = 6, ER = 18.
Пример 3.
7=30.s т
—ST =—RS.
2
RS, ST — ?
Решение.
Если —ST = —RS, то 3ST = 2RS. По условию RT = 30. Но RT = RS + 2
Г 2 у 3i/
+ ST. Пусть RS = х, ST = у, тогда получим систему уравнений:
I X + уoU.
Из второго уравнения х = 30 — у, тогда первое уравнение системы примет вид 2(30 - у) = Зу, или 60 - 2у = Зу, 5у = 60, откуда у = 12, тогда х = 30- 12 = 18.
Значит, RS = 18, ST = 12.
Ответ: RS = 18, ST = 12.
Пример 4. / /
MN = 25,М Е F
Е — середина MF,
MF :FN = 2:3.
FN — ?
Решение.
Пусть MF = 2х, тогда FN = Зх. Так как MN = 25, то получим урав2х + Зх = 25, 5х = 25, х = 5. Значит, MF = 2х = 10, тогда FN = = MN - MF = 25 - 10 = 15.
Ответ: FN =15.
Пример 5.
I / I / I
АМЕ N В
MN = 13. АВ — ?
Решение.
Пусть AM = ME = х, EN = NB = у. По условию MN = 13, тогда поу = 13. Но АВ = АЕ + ЕВ = 2х + 2у. Значит, АВ = 2(х + у) = = 13 • 2 = 26.
Ответ: АВ = 26.
ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
Группа «Б»
Таблица 1
Группа «П»
Таблица 1
Окончание табл. 1
§ 2. Измерение углов
Пример 1.
ZAOD = 6 ZBOD.
ZAOB, ZBOD — Ч
Решение.
Пусть ZBOD = х, тогда ZAOD = 6х. Но ZAOD = ZAOC + + ZCOD, или ZAOD = 30° + 90° =
= 120°. Значит, 6х = 120, откуда х = 20, т. е. ZBOD = 20°. Следовательно, ZAOB = ZBOD + ZAOD = 20° + 120° = 140°.
Ответ: ZAOB = 140°, ZBOD = 20°.
Пример 2.
ZAOB = 120°.
ZBOD, ZAOC, ZBOC — ?
Решение.
Пусть ZBOC = ZCOD = x, где ОС биссектриса ZBOD. По условию задачи ZAOD = 40° и ZAOB = 120°. Но ZAOB = = ZBOC + ZCOD + ZAOD. Следователь-
но, получим уравнение x + x + 40 = 120,
или 2x = 80, откуда x = 40. Значит, ZBOC = 40°, ZBOD = 2x = 80°, ZAOC = 40° + 40° = 80°.
Ответ: ZBOD = 80°, ZAOC = 80°, ZBOC = 40°.
Пример 3.
ZAOB = 150°,
ZBOC - ZAOC = 80°.
ZBOC, ZAOC — ?
Решение.
Обозначим ZBOC = x, ZAOC = = у, тогда получим x - у = 80. По условию задачи ZAOB = 150°,
или х + у = 150. Имеем систему уравнений:
х + у = 150, х-у = 80;
2х = 150 + 80, = 150 -80;
2х = 230, = 70;
х = 115, У = 35.
Итак, ZBOC = 115°, ZAOC = 35°.
Ответ: ZBOC = 115°, ZAOC = 35°.
Замечание. Задачу можно решить с помощью уравнения.
Группа «П»
Таблица 2
ZAOB = 150°, ZAOC : ZBOC =1:4. ZAOC, ZBOC — Ч
5 ZMON = 130°, ZKOP = 2ZMOP, 3ZNOK = 2ZKOP.
ZNOK, АМОР — Ч
ZAOB = 140°, 5ZBOC = 2ZAOC. ZAOC, ZBOC — Ч
А
О
4 ZNOK - ZMOK = 90°, ZNOK = 4ZMOK. ZMOK, ZNOK — Ч
8 ZEOF : ZBOF =1:2.
ZEOF, ZBOF, ZAOF — Ч
ОТВЕТЫ
7 класс
Таблица 1 «Б»
1. АС = 11, СВ = 5. 2. ME = T,ER = 21. 3. DB = 2. 4. ME = 4, EF = 5. 5. ST = 21. 6. RS = 21. 7. KM = 9. 8. AD = 15, CB = 15.
Таблица 1 «П»
1. RS = 24, ST = 16. 2. MK = 5, KN = 15. 3. RK = 10, SK = 15. 4. EM = 30, MF = 6. 5. EF = 7. 6. ME = 7. 7. NR - 13. 8. EM = 8, MN - 9. 9. AC - 19.10. EN = 16. 11. AV =27. 12. RF= 15. 13. FN = 18. 14. EL = 21. 15. KF = 23. 16. AB = 34.
Таблица 2 «Б»
1. ZAOC = 30°, ZBOC = 120°. 2. ZAOB = 160°, ZBOC = 40°. 3. ZBOC = 70°. 4. ZAOB = 75°, ZBOC = 50°. 5. ZAOB = 90°, ZAOC = 30°. 6. ZAOB = 150°, ZBOC = 30°. 7. ZBOD = 80°, ZAOC = 90°, ZBOC = 40°. 8. ZBOD = 30°, ZAOD = 90°.
Таблица 2 «П»
1. ZAOC = 30°, ZBOC = 120°. 2. ZKOE = 40°, ZMOL = 20°. 3. ZAOC = 100°, ZBOC = 40°. 4. ZMOK = 30°, ZNOK = 120°. 5. ZNOK = 40°, ZMOP = 30°. 6. ZAOD = = 30°, ZCOD = 40°, ZBOC = 50°. 7. ZKOT = 30°, ZTOL = 40°, ZKOL = 70°. 8. ZEOF = = 30°, ZBOF = 60°, ZAOF = 70°.
Таблица 3 «Б»
1. Zbc = 120°, Zac = 60°. 2. Zmp = 150°, Zpn = 30°. 3. Zbd = 20°. 4. Zmk = 60°. 5. Zmk = 35°, Zmp = 145°. 6. Zac = 130°, Zbc = 50°. 7. Zml = 150°, Zlk = 30°. 8. Zac = 20°, Zbc = 160°.
Таблица 3 «П»
1. ZMOK = 120°, ZKON = 60°. 2. ZBOF = 100°, ZBOE = 140°. 3. Zac = 30°, Zed = 75°. 4. Zkm = 140°, Zmn = 20°. 5. ZAOC = 110°, ZCOD = 35°. 6. ZMOK = = 35°, ZKON = 145°. 7. ZEOF = 100°. 8. ZEOM = 45°, ZNOF = 45°. 9. ZCOD = 90°. 10. ZMOK = 90°, ZNOK = 90°. 11. ZROF = 120°, ZEOS = 20°. 12. ZMOC = 70°, ZCOK = 35°. 13. ZFOE = 50°. 14. ZOOM = 60°. 15. ZTOM = 20°. 16. ZFON = 54°, ZMOE = 72°.
Таблица 4 «Б»
1. Zab = 35°, Zabi = 145°, Za^b = 145. 2. Zmn = 40°, Zmn^ = 140°, Zm-piy = 40°. 3. Zab^ = 130°, Zab = 50°. 4. Zmn = 20°, Zmnx = 160°. 5. Zab = 45°, Za^b = 135°. 6. Z1 = Z3 = 25°, Z2 = Z4 = 155°. 7. Z1 = Z3 = 40°, Z2 = Z4 = 140°. 8. Z1 = Z3 = = 50°, Z2 = Z4 = 130°. 9. Z1 = Z3 = 140°, Z2 = Z4 = 40°. 10. Z1 = 145°, Z2 = 35°. 11.Z1 = 12O°, Z2 = 60°. 12. Zl = 130°, Z2 = 50°. 13. Z1 = 120°, Z2 = 60°. 14. Zl = = 150°, Z2 = 30°. 15. Z1 = 140°, Z2 = 40°. 16. Z1 = 150°, Z2 = 30°.
Оглавление
Предисловие
Глава I. Краткие теоретические сведения по курсу планиметрии 7—9 классов4

Неравенства треугольника

Теорема Менелая

Метрические соотношения в окружности

Длина окружности. Площадь круга и его частей

Понятие вектора

Равенство векторов

Глава II. Начальные геометрические сведения26

Измерение углов

Смежные углы

Вертикальные углы

Смежные углы

Вертикальные углы

Глава III. Треугольники52

Признаки равенства треугольников

Периметр равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника

Окружность

Глава IV. Параллельные прямые74

Признаки параллельности прямых

Свойства углов при параллельных прямых

Глава V. Соотношения между сторонами и углами треугольника85

Углы треугольника

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Расстояние от точки до прямой

8 класс102
Глава VI. Четырехугольники102

Определение и признаки параллелограмма

Свойства параллелограмма. Найдите периметр параллелограмма

Свойства параллелограмма. Найдите неизвестные углы

Параллелограмм

Трапеция. Найдите углы трапеции

Трапеция. Найдите Рдвсо127

Глава VII. Площадь131

Площадь прямоугольника

Площадь параллелограмма

Площадь треугольника

Площадь трапеции

Теорема Пифагора

Глава VIII. Подобные треугольники161

Определение подобных треугольников

Признаки подобия треугольников. Найдите: х, у169

Признаки подобия треугольников. Докажите подобие представленных пар треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Найдите х187

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Решите задачи

Глава IX. Окружность

Касательная к окружности

Центральные и вписанные углы

Четыре замечательные точки треугольника

Вписанные и описанные окружности

9 класс238
Глава X. Векторы238

Векторы. Метод координат

Координаты вектора

Простейшие задачи в координатах

Применение метода координат к решению задач

Средняя линия трапеции

Уравнение окружности

Уравнение прямой

Глава XI. Соотношения между сторонами и углами треугольника280

Решение треугольников. Площадь треугольника

Решение треугольников. Теорема синусов

Решение треугольников. Теорема косинусов

Теорема синусов и косинусов

Скалярное произведение векторов

Глава XII. Длина окружности и площадь круга314

Длина окружности. Длина дуги

Площадь круга. Найдите 8кр325

Площадь круга. Найдите площадь заштрихованной фигуры....333

7 класс
8 класс
9 класс
Литература
Учебное издание
Балаян Эдуард Николаевич
РЕПЕТИТОР ПО ГЕОМЕТРИИ
для 7-9 классов
Ответственный редактор С.Осташов Технический редактор Л. Багрянцева
Формат 70^/100/16. Бумага типографская.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 29,67. Тираж 4000 экз.
Заказ №
Издатель и изготовитель: ООО «Феникс».
Юр. и факт, адрес: 344011, Россия, Ростовская обл., г. Ростов-на-Дону, ул. Варфоломеева, д. 150 Тел/факс: (863) 261-89-65, 261-89-50
Изготовлено в России. Дата изготовления: 01.2021. Срок годности не ограничен.
Отпечатано в АО «ТАТМЕДИА»
Филиал «Полиграфическо-издательский комплекс "Идел-Пресс"».
Юр. адрес: 420097, Россия, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Академическая, д. 2
Факт, адрес: 420066, Россия, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Декабристов, здание 2
Сайт издательства: www.phoenixrostov.ru Интернет-магазин: www.phoenixbooks.ru
Возможна доставка книги в , а также в любой другой город страны Почтой России, СДЭК, ОЗОН-доставкой или транспортной компанией.
{{searchData}}
whatsup