Математика для медицинских колледжей: учебник. - Изд. 2-е. (Гилярова)Купить книгу, доставка почтой, скачать бесплатно, читать онлайн, низкие цены со скидкой, ISBN 978-5-222-34135-3

Аннотация к книге "Математика для медицинских колледжей: учебник. - Изд. 2-е"
автор Гилярова

В учебнике рассмотрены основные темы современной математики, необходимые для профессионального обучения медицинских работников среднего звена. Предложены основные теоретические понятия, примеры решения задач, задания для самостоятельной работы. В темах прикладного характера прослеживается профильная направленность изучаемой дисциплины. Адресован студентам и преподавателям медицинских колледжей.

Читать онлайн выдержки из книги "Математика для медицинских колледжей: учебник. - Изд. 2-е"
(Автор Гилярова)

К сожалению, посмотреть онлайн и прочитать отрывки из этого издания на нашем сайте сейчас невозможно, а также недоступно скачивание и распечка PDF-файл.

До книги"Математика для медицинских колледжей: учебник. - Изд. 2-е"
Вы также смотрели...

Другие книги серии "Сред.медиц.образование"

Другие книги раздела "Книги по математике"

Читать онлайн выдержки из книги "Математика для медицинских колледжей: учебник. - Изд. 2-е" (Автор Гилярова)

Среднее медицинское образование

М. Г. Гилярова

МАТЕМАТИКА

лля мелицинских колледжей

Рекомендовано Научно-методическим советом Международного научного общественного объединения «МАИТ» в качестве учебника для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования, обучающихся по направлению подготовки 31.02.01 «Лечебное дело», 31.02.02 «Акушерское дело», 31.02.03 «Лабораторная диагностика», 34.02.01 «Сестринское дело», 31.02.05 «Стоматология ортопедическая» (рецензия РЭЗ 15-09 от «5» октября 2015 г.)

Издание второе

РОСТОВ-на-ДОНУ

Феникс 2021

УДК 51(075.32) ББК 22.1я723

КТК 11

Г 47

Гилярова М. Г.

Г 47 Математика для медицинских колледжей : учебник / М. Г. Гилярова. — Изд. 2-е. — Ростов н/Д : Феникс, 2021. — 457, [1] с. : ил. — (Среднее медицинское образование).

ISBN 978-5-222-34135-3

УДК 51(075.32) ББК 22.1я723

ISBN 978-5-222-34135-3

© Гилярова М. Г., 2018©

Оформление: ООО «Феникс», 2018

Содержание

Тема 1.2. Основные свойства функций и их графики49

Тема 1.3. Применение математических методов

в профессиональной деятельности среднего медицинского персонала66

Исторические сведения к разделу 1105

Тема 2.1. Предел функции в точке. Раскрытие

неопределенности вида

00

00

116

Тема 2.2. Раскрытие неопределенности

О

О

вида

Первый замечательный предел

126

Тема 2.3. Правила дифференцирования.

Производная функции в точке. Производные высших порядков138

Тема 2.4. Дифференциал функции.

Применение дифференциала

к приближенным вычислениям150

Тема 2.5. Геометрические приложения производной158

Тема 2.6. Первообразная и неопределенный интеграл. Замена переменной

в неопределенном интеграле170

Тема 2.7. Определенный интеграл.

Формула Ньютона — Лейбница. Свойства определенного интеграла185

Тема 2.8. Геометрические приложения определенного интеграла. Физические приложения определенного интеграла198

Тема 2.9. Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике219

Исторические сведения к разделу 2235

Раздел 3. Основы дискретной математики244

Тема 3.1. Множества. Действия над множествами. Основные понятия комбинаторики244

Тема 3.2. Основные понятия теории графов258

Тема 3.3. Элементы математической логики.

Булева алгебра280

Исторические сведения к разделу 3284

Раздел 4. Основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики299

Тема 4.1. Основы теории вероятностей.

Теоремы сложения и умножения вероятностей....299

Тема 4.2. Закон распределения дискретной случайной величины320

Тема 4.3. Математическая статистика

и ее роль в медицине и здравоохранении330

Тема 4.4. Статистическое определение вероятности. Выборочный метод347

Тема 4.5. Интервальное распределение

выборки. Статистические оценки параметров распределения354

Тема 4.6. Медико-демографические показатели377

Исторические сведения к разделу 4383

Практические работы389

Приложения404

Приложение 1. Справочные материалы404

Приложение 2. Примерные темы рефератов

для самостоятельной работы студентов409

Приложение 3.Итоговая контрольная работа411

Приложение 5. Задачи для любителей математики418

Приложение 6. Контрольные вопросы

для зачета421

Приложение 7. Высказывания великих

людей о математике424

Литература430

Предисловие

Учебник написан на основе опыта ведения теоретических и практических занятий в медицинском колледже и предназначен для изучения и углубления знаний по математике на учебных занятиях и для организации самостоятельной работы студентов.

Книга представляет собой освещение всех изучаемых разделов математики, направленных на овладение основными понятиями и применение математических знаний в работе медицинского персонала среднего звена.

Учебник содержит материал, предусмотренный Федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования по дисциплине «Математика» для всех специальностей медицинского колледжа, в структуре основной профессиональной образовательной программы место дисциплины в математическом и естественно-научном цикле.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.

В процессе освоения дисциплины обучающийся должен понять:

—значение математики в профессиональной деятельности и при изучении профессиональной образовательной программы;

—основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

—основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;

—основы интегрального и дифференциального исчисления.

В учебном издании рассматриваются основные понятия следующих разделов математики: алгебра, теория пределов, основы математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисление), дискретная математика, логика, теория вероятности, математическая

статистика. Кроме этого, в изложении предусмотрена интеграция со следующими дисциплинами: медицинская статистика, валеология, анатомия, педиатрия, терапия, экономика и управление здравоохранением. Учитывается профессиональная направленность курса математики, что способствует воспитанию у студентов уверенности в профессиональной значимости изучаемого предмета. Решая задачи из области фармакологии, биологии и медицины, студенты убеждаются в справедливости теоретических основ математики и видят их практическое применение.

Для каждого раздела рассматриваемых тем математики дан короткий исторический очерк по используемым понятиям. Этот материал подчеркивает значимость изучаемого материала, создает атмосферу необходимости освоения базового математического багажа знаний. Кроме этого, появляются сознательные мотивы изучения предмета. Мотивация и профильность в современном обучении играют важную роль в успешном усвоении дисциплины. Каждая тема включает в себя перечень изучаемых терминов, основные теоретические понятия, примеры решения задач, задания для самостоятельной работы, контрольные вопросы.

Цель создания книги заключается в том, чтобы помочь студентам расширить, суммировать и систематизировать знания по математике, полученные в средней школе, а также научить их пользоваться ими для совершенствования навыков своей будущей работы.

Для итогового контроля знаний предложены контрольная работа и тестовые задания по вариантам, вопросы для дифференцированного зачета.

Учебник может быть использован как под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения студентами, так как в каждой главе в качестве примеров предложены задачи с решениями и ответами.

Книга поможет студентам в изучении основ высшей математики и будет полезна преподавателям для рассмотрения профильной направленности медицинской математики.

Условные обозначения

— равносильно, эквивалентно, тогда и только тогда def — по определению равно const — постоянная величина

0 — пустое множество

{} — множество элементов

е / g — принадлежит / не принадлежит

N — множество всех натуральных чисел

Z — множество всех целых чисел

Q — множество всех рациональных чисел

R — множество всех действительных (вещественных) чисел

R + — множество всех положительных действительных чисел

D(f) — область определения функции у = /(х)

E(f) — множество (область) значений функции у = Дх)

— меньше / больше

— меньше либо равно / больше либо равно

=> — следует

« — приблизительно равно

п — пересечение множеств, интервалов

и — объединение множеств, интервалов

— знак корня

оо — знак бесконечности

I — знак модуля

|х| — абсолютная величина числа

[х] — целая часть числа

{х} — дробная часть числа

V — для любого значения

3 — существует

РАЗДЕЛ 1

Основные математические методы решения прикладных задач в вбласти профессиональной деятельности

Тема 1.1. Роль и место математики в современном мире. Пропорция. Задачи на проценты

Термины

•Пропорция

•Основное свойство пропорции

•Процент

•Задачи на проценты

•Процентная концентрация раствора

•Концентрация раствора

•Единицы длины

•Единицы площади

•Единицы объема

•Единицы веса

•Правила округления чисел

•Абсолютная погрешность

•Относительная погрешность измерения

в соотношении

ОСНОВНЫЕ понятия

Роль и место математики в современном мире

Математическое образование должно составлять неотъемлемую часть культурного багажа любого современного человека. Но оно не должно никоим образом

сводиться к рецептурам (будь то таблица умножения или расчет антропометрических индексов).

Основной целью математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира. Способность составлять и исследовать математические модели является важнейшей составной частью этого умения.

Начало периода элементарной математики относят к VI—V вв. до н. э. К этому времени был накоплен достаточно большой фактический материал. Понимание математики как самостоятельной науки впервые возникло в Древней Греции. В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика — наука о простейших свойствах чисел.

В период развития элементарной математики появляется теория чисел, постепенно выросшая из арифметики. Создается алгебра как буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач, в стройную и строгую систему элементарной геометрии — геометрию Евклида (300 лет до н.э.), изложенную в его знаменитом труде «Начала», включающем 15 книг.

В XVII в. запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. Великим открытием XVII в. является введенное И. Ньютоном (1643—1727) и Г. Лейбницем (1646—1716) понятие бесконечно малой величины, создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа).

На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.

К этому времени относится и появление гениальной идеи Р. Декарта (1596—1650) о методе координат. С одной стороны, создается аналитическая геометрия, которая позволяет изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны, метод координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.

Дальнейшее развитие математики в начале XIX в. привело к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения.

Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но и вследствие внутренней потребности математики. Замечательным примером такой теории является воображаемая геометрия Н.И. Лобачевского (1792—1856). Исследования математиков в XIX и XX вв. позволяют отнести ее к периоду современной математики. Развитие самой математики, математизация различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин, например: исследование операций, теория игр, математическая экономика и др.

Построение математической теории базируется на аксиоматическом методе. В основу научной теории положены некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории получаются как логические следствия аксиом.

Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства — строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция.

В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и то же дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад

радиоактивного вещества. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.

Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Академик Андрей Николаевич Колмогоров (1903— 1987) выделяет четыре периода развития математики:

•зарождение математики;

•элементарная математика;

•математика переменных величин;

•современная математика.

В наше время ни одна наука и ни один предмет не обходятся без математики в любом ее выражении. Особенно тесно математика связана с все более нарастающим прогрессом и всеобщей компьютеризацией.

В любой современной области науки математические вычисления играют главенствующую роль, причем расчеты все время усложняются в геометрической прогрессии. А что касается медицины, то здесь с наступлением новых технологий и точных расчетов эффективность лечения будет равна практически 100 процентам. Все больше новые методы лечения, даже некоторые новые лекарства, а также некоторые медицинские эксперименты моделируются и разрабатываются с помощью той же математики и компьютеров.

В математике используются три вида умозаключений: дедукция, индукция и по аналогии.

Индукция — метод исследования, в котором общий вывод строится на основе частных рассуждений.

Дедукция — способ рассуждения, посредством которого от общих высказываний (фактов) следует заключение частного характера.

Аналогичные рассуждения чаще всего используются учащимися при решении задач.

Математика играет важную роль в естественно-научных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в

различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. В современном мире все образованные люди используют в жизни знания математики, полученные в школе, вузе, других учебных заведениях. Все умеют считать, этому нас научила арифметика. Все умеют выполнять измерения линейкой и циркулем, этому нас учит геометрия. Кроме этого мы постоянно в течение нашей жизни решаем задачи, например, на нахождение процентов, вычисление наибольшего и наименьшего значения, просчитываем число вариантов, определяем вероятность того или иного события, анализируем ситуации, используем алгоритмы выполнения чего-либо. Этому всему нас учат различные разделы математики. Но в силу своей образованности человек не отдает себе отчета в том, что это элементы математики, он решает простейшие задачи автоматически.

В настоящее время математика вплотную используется в основном для следующих целей:

—изучение базовых и специальных разделов математики во всех учебных заведениях: школах, училищах, колледжах, вузах и т. д.;

—использование математической составляющей, связанной с работой на ЭВМ (работа в вычислительных центрах);

—применение математических задач, решаемых в научно-исследовательских и научно-практических организациях (НИИ, КБ и т. д.);

—поиск новых решений математических задач, проведение исследований в различных разделах математики (научная работа).

У тех, кто напрямую не связан с математикой, существует необходимость пополнять и расширять запас

математических знаний. У студентов и учащихся должно быть сформировано представление о математике как о теоретической базе, необходимой для применения во всех сферах общечеловеческой жизни.

При изучении математики в системе среднего профессионального образования следует опираться не только на образовательные цели обучения, но и на развивающие и воспитательные. Обучение математике должно решать следующие задачи:

—формировать устойчивый интерес к математике;

—развивать вычислительные навыки и математические способности;

—способствовать созданию более осознанных мотивов изучения математики;

—расширять представления студентов и учащихся о сферах применения математики в естественных науках, в области гуманитарной деятельности, искусстве, производстве, быту;

—формировать представление о математике как о части общечеловеческой культуры;

—способствовать пониманию значимости математики для общественного прогресса;

—расширять сферу применения математических знаний и способов выполнения математических преобразований учащимися и студентами;

—формировать представления об объективности математических отношений, проявляющихся во всех сферах деятельности человека, как форм отражения реальной действительности;

—готовить обучаемых к профильному направлению, ориентировать на будущую профессию;

—развивать логическое и пространственное мышление;

—формировать навыки перевода прикладных задач на язык математики и умения создавать математические модели для ситуационных задач и т. д.

При проведении занятий по математике на любом уровне обучения следует учитывать межпредметные и внутрипредметные связи. Опора делается на школьную математику и предметы как изучаемые в школе: физика, химия, биология, так и не изучаемые в основной

школе: экономика, биохимия, управление здравоохранением и т.д.

Очень важен компетентностный подход для каждой конкретной специальности: студент должен четко представлять свои умения и навыки для использования в будущей профессии. Обычно компетентность представлена тремя составляющими: знания, умения, навыки. Для студентов медицинского колледжа, будущих работников здравоохранения среднего звена, можно определить следующие общие цели:

—умение выполнять различные вычисления: устно, на бумаге, с помощью калькулятора или на компьютере;

—составление и заполнение различных таблиц, т. е. совершенствование умения структурировать числовую информацию;

—построение и умение читать различные графики и диаграммы.

Для достижения поставленных целей преподаватель показывает комплексный подход в использовании математических закономерностей в различных отраслях современного производства. Например, для успешной работы с машиностроительной техникой необходимым является умение читать чертежи и схемы, использовать формулы геометрии и тригонометрии, определять условия экономического использования различного сырья и материалов и т. д. Для каждой специальности существует свое профильное направление математики. А для студентов-медиков необходимо умение безошибочно вычислять всевозможные показатели, ориентироваться в графическом представлении информации (строить графики различных функций), а также обрабатывать статистические данные.

Как известно, каждый человек использует математические знания в быту и применяет их при решении практических задач. Вычисление необходимых отношений и величин для домашнего строительства, кулинарии, экономического ведения хозяйства, выбор параметров, характеристик объектов, самостоятельные измерения, вычисления величин, выполнение приближенных вычислений, умение пользоваться таблицами и справочниками

в домашней практике, вычисление процентов, расходов и доходов — все это связано с математикой и применением математических знаний в домашней практике.

Говоря о необходимости математических знаний, следует опираться на их практическое применение в конкретных специальностях.

Математическое образование — это испытанное столетиями средство интеллектуального развития в условиях массового обучения. Такое развитие обеспечивается принятым в качественном математическом образовании систематическим, дедуктивным изложением теории в сочетании с решением хорошо подобранных задач. Успешное изучение математики облегчает и улучшает изучение других учебных дисциплин.

Математика — наиболее точная из наук. Поэтому учебный предмет «математика» обладает исключительным воспитательным потенциалом: он воспитывает интеллектуальную корректность, критичность мышления, способность различать обоснованные и необоснованные суждения, приучает к продолжительной умственной деятельности.

Для многих обучающихся математика является необходимым элементом предпрофессиональной подготовки. В связи с этим принципиально важно согласование математики и других учебных предметов.

Изучение математики является неотъемлемой частью любой специальности среднего звена, в том числе и будущих медицинских работников, и на каждом занятии должна прослеживаться связь с практикой.

Пропорция и золотое сечение

В математике пропорцией (от лат. proportio) называ- ,ла с

ют равенство двух отношении: а : о = с : а или — = — .

Ь d Основное свойство пропорции: произведение крайних элементов пропорции равно произведению ее средних элементов.

С древних времен известна гармоническая пропорция — золотое сечение.

Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему а : Ь = Ъ : с или с : Ъ = Ь : а.

с

Принцип золотого сечения — высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Если отрезок принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая — 38 частям. Второе золотое сечение вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция используется в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Процент

Само слово «процент» происходит от лат. «pro centum», что означает в переводе «сотая доля». В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «с£о» (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал « % ». Так из-за опечатки этот знак вошел в обиход.

Задачи на проценты можно решать разными способами: составляя пропорцию; по действиям; обозначив неизвестное за х, составляя и решая уравнение; исполь-

РАЗДЕЛ 2

Дифференциальное и интегральное исчисление

Тема 2.1. Предел функции в точке. Раскрытие неопределенности вида с

Термины

•Предел функции в точке

•Основные свойства пределов

• Неопределенность вида

00

00

&

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Определение предела функции

Пусть функция /(х) определена на некотором интервале (а, 6), кроме, быть может, точки х0 е (а, Ь). Число А называется пределом функции /(х) в точке х0, т. е.

А = lim f(x),

Х-^Хд

если V е > О 3 8 = 8(e) > 0: Vx е (а, Ъ), удовлетворяющих условию

I X - Х01 < 8, X * х0 => I /(х) - А| < £.

Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к а, если для любого числа s > О существует такое число 8 > О, что для всех х ф а, удовлетворяющих условию |х - а\ < 8, имеет место неравенство \f(x) - Л| < б.

Обозначают это так:

lim f(x) = А, или f(x) -> А при х -> а.

х->а

Число А называется пределом функции /(х) при х стремящемся к оо, если для любого числа б > 0 существует такое положительное число N, что для всех х, удовлетворяющих условию |х| > N, имеет место неравенство |/(х) - А| < Б.

Обозначают это так:

lim /(х) = А или f(x) -> А при х —> оо.

Х->со

Теорема. (Правило замены переменной)

Если существуют lim /(х) = у0, f(x) ф у0Ч х ф х0 и х->х0

lim Е(г/), то при х -> х0 существует предел сложной У->Уо

функции .Е[/(х)] и lim F[/(x)] = limJ’(y).

*-»*□у-у0

Свойства пределов функции

Пусть все функции, рассматриваемые ниже, определены на интервале (а, &), кроме, быть может, фиксированной точки х0 6 (а, Ь). Тогда верны следующие свойства:

1.Функция не может иметь двух разных пределов в

одной точке, т.е. если предел существует, то он единственный.

2.Если ср (х) < f (х) < ср (х) и

А = lim ср(х) = lim у(х) => lim /(х) = А.

х—>х0х—>х0х-^х0

3.Если f(x) = C (const) => lim /(х) = /(х) = С, т. е. предел постоянной величины равен самой постоянной.

4.Если lim/(х) существует и VC — const, то

lim С • f(x) = С • lim/(х), т. е. постоянное число можно вынести за знак предела.

5.Если существуют конечные пределы lim /(х) и

х->х0

lim g(x), тогда lim [/(х) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x),

X->XQX->XqX^>XqX^>Xq

t. e. предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций. Это свойство справедливо и для разности.

6.Если существуют конечные пределы lim /(х) и

х->х0

limg(x), тогда lim [f(x) • g(x)] = lim f(x) • lim g(x),

X—^Xqx^xo*“>*0X^>X0

т. e. предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.

7.Если существуют конечные пределы lim f(x) и

*->*о

lim /(х) limg(x) и lim g(x) ± 0, то lim, t. e.

x^x0 x~>xox^xo g(x) lim g(x)

x->x0

предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если эти пределы существуют и знаменатель отличен от нуля.

8.Для непрерывной функции можно переставлять знак предела и знак функции:

limf(g(x)) = /(limg(x)j.

х—>а\х—>а/

Как частный случай — если функция f(x) имеет предел при х->а, то lim (/(х))" = (lim f (х)) , где п — нату- ральное число.

Все эти свойства доказываются одинаковым методом, основанным на соответствующих свойствах пределов последовательностей. Для доказательства этих свойств используются понятия бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция а = а(х) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) при х -> х0,

если lim а(х) = 0, т. е. для любого числа е > О суще- х^>х„

ствует такое число 5 > О, что для всех х, удовлетворяющих неравенству О < |х - а| < 8, имеет место неравенство Ja(x)| < е.

Бесконечно малые функции обладают следующими основными свойствами:

1.Если функции ах(х) и а2(х) являются бесконечно малыми, то функция а^х) + а2(х) также есть бесконечно малая алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых, определенная на общем множестве, есть величина бесконечно малая при х х0.

2.Произведение ограниченной при х->а функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.

3.Произведение постоянной на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.

4.Произведение двух бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

5.Если в функции [а(х)]п — (п — целая положительная степень) а(х) - бесконечно малая, тогда и [а (х)]" — бесконечно малая.

6.Отношения двух бесконечно малых а(х)—>0,

р(х) —> 0, v ' — может быть функция произволь- х->хо Р(^)

ного поведения. Но с помощью действия деления можно сравнить между собой бесконечно малые. Далее рассмотрены бесконечно большие функции.

Функция f = f(x) называется бесконечно большой при х -> х0, если Ve > 0 3 8 = 8(e) > 0: I f(x)| > е, Vx:|x-xol <8, х<х0.

В этом случае будем писать lim f (х) = оо.

Если Ve > 0 3 8 : /(х) > е (/(х) < - е) Vx : I х-х0 I < 8, х * х0 => lim f(x) = +оо, limf(x) = -оо.

х_>х0(х->х0)

Функция f(x) называется бесконечно большой при х-^а, если lim ffx) = оо, т.е. для любого числа М > О существует такое число 8 > 0, х->а, что для всех х, удовлетворяющих неравенству О < |х - а| < 8, имеет место неравенство Iffх)| > М.

Замечание. Величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.

Бесконечно большие функции обладают следующими основными свойствами:

1.Если функция а(х) бесконечно большая, то 1/а(х) есть бесконечно малая.

2.Если функция а (х) бесконечно малая и не обращается в нуль, то 1/а(х) есть бесконечно большая.

В дальнейшем будем использовать символические записи для любого числа

а > 0: — = +оо, — = -оо

+0-О

+00

а

—00

а(х), Р(х) — бесконечно малые при х -> х0 имеют одинаковый порядок, если их отношение имеет конечный

предел, отличный от нуля, т. е. lim —— = К 0. Поря- х->х0 Р(х)

док бесконечно малой Р(х) выше порядка бесконечно малой а(х), если отношениеесть бесконечно ма-

а(х) г Р(*) п

лое при х -> хп, т. е. lim = 0.

х->х0 а(х)

В этом случае пишут Р(х) = 0 [а(х)] при х -> хо.

Бесконечно малая Р(х) имеет предел п относительно бесконечно малой а(х) при х -> х0, если

lim-^

*->*<> ап(х)

= K*Q.

Задания для самостоятельной работы

№ 46.

х2 + 5х + 1

Вычислите предел lim —5

х->«> х - х + 2

Решение’.

х2 + 5х +1

lim—.>—

х-»со X — X + 2

00

00

Ответ: 1.

№ 47.

Вычислите пределы:

Вариант 1.

х2 - Зх - 2

а) lim—2г;

х-х» X - X - 2

Вариант 2.

2х2 + 5х - 7 а) limV^

Зх - х - 2

Вариант 3.

х2 - 5х + 6

a) lim —о;

12х + 20

Вариант 4.

2х2 + х - 3

а) lim—2

х-хя х + х - 2

б)

7х3 + 8х - 3 lim—-5——-s—~ . я-»® 5х3 - 2х2 + 4

б)

х5 -4х4 +13 lim —г5г .

x-х» 4х5 - 8х2 + х5

2х3 + х2 +1

б) limз—

х->°° х - 5х

х3 -5х

б) lim —о——— х3 - 4х2 - 5х

Вариант 5.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения X стремится к нулю.

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и /(х) > 0. Фигура, ограниченная графиком АВ функции у = /(х), прямыми х = а, х = Ъ и осью ОХ (рисунок ниже), называется криволинейной трапецией.

Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение /(£а)Аха равно площади прямоугольника с основанием Axft = xk - xk _ j и

п

высотойа сумма о„ = ^f(£ft)Axft представляет

*=1

собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры (изображенной на рисунке). Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения тп отрезка [а; Ь] на частичные отрезки и выбора точек

Чем меньше Axft, k = 1, п, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы при Х->0:

S = lim^/(^)AxA = jf(x)dx.

й=1а

Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Формула Ньютона — Лейбница

Формула Ньютона — Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [а; Ь] от непрерывной функции f(x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при х = Ь и х = а.

ьь

/ f(x)dx = _F(x)J=F(b) - F(a).

аа

Здесь а и b — соответственно нижний и верхний пределы интегрирования.

Можно записать, что интеграл равен приращению первообразной.

Понятие определенного интеграла можно вывести через площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции (фигуры, ограниченной линиями у = f(x), у = 0, х = а, х = Ъ) выражается интегральной суммой или числом, которое называется определенным интегралом.

Общность обозначения определенного и неопределенного интегралов подчеркивает тесную связь между ними, но это разные понятия по смыслу: определенный интеграл — это число, а неопределенный интеграл — совокупность первообразных функций. Связь между определенным и неопределенным интегралом выражается методами интегрирования.

Основные свойства определенного интеграла

Рассмотрим свойства определенного интеграла.

1.Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (а = Ъ), то интеграл равен нулю:

J f(x)dx = 0.

а

Это свойство следует из определения интеграла.

2.Если /(х) = 1, то

ь

$dx = Ь-а.

а

3.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

Ьа

аЬ

4.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

ьь

J cf(x)dx = с J f(x)dx.

аа

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [а; &] функций fx(x), f2(x), ..., fn(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

>ьъ

ъ___

|(Д(х) ± /2(х) ±... ± /„(x))dx = /А(х)йх ± ]72(х)йх ±... ± ]7n(x)dx.

аа

а

с

J f(x)dx

а Ъ

J f(x)dx а

ЬсЬ

J f(x)dx = j f(x)dx + J f(x)dx.

aac

7. Оценка определенного интеграла: если т < /(х) < М на [а; &], то

ь

m(b - а) < jf(x)dx < М(Ь - а).

а

6. Если существуют интегралы

существует также интеграл чисел а, Ъ, с:

а

b

j f(x)dx, ТО

с

для любых

и

и

Ъ

Замена переменной в определенном интеграле

Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести

подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема. Если функция /(х) непрерывна на отрезке [а; &], а функция х = ф(£) непрерывно дифференцируема на отрезке [tx; t2], причем ф([4х; t2]) = [а; &] и ф(£х) = а, ф(^) = Ь, то справедлива формула

ьt2

ff(x)dx = //(ф(О)Ф'(О^-

а

Рассмотрим примеры.

In 2

Вычислите интеграл J \ех -ldx. о Решение:

In 2

| у/ех - ldx = ■ dx = о

t = у/ех -1, х = ln(l+t2) 2t

1 + Г

О < х < In 2, 0 < t < 1

1 f21

о1 + Lо

4 - л

2

Ответ:.

2

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть и(х) и о(х) — дифференцируемые на отрезке [а; й] функции переменной х. Тогда d(uv) = udv + vdu. Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке [а; &]:

ььь

+ J vdu.

ааа

С другой стороны, по формуле Ньютона—Лейбница

Приложение 4 Тест-контроль

1.Установите соответствие между функциями и их

производными.

1)f(x) = 6 + cos х;

2)f(x) = 6х + cos х;

3)Дх) = 6 - cos х;

A)f’(x) = sin х;

B)/'(х) = 6 - sin х;

C)f'(x) = -sin х.

2.Вторая производная у"(х) функции у(х) = 7 + 5х — х2 имеет вид:

1)у" = -2;2)у" = 5 —2х;

3)у" = 11;4)у" = 0.

3.Дифференциал функции у = 2х3 + 7х имеет вид:

1)6x2dx;2) (2х3 + 7x)dx;

3) (4х2 + 7)dx;4) (6х2 + 7)dx.

4.Приближенное значение приращения функции у = = 2х2 — 5х — 3, вычисленное с помощью дифференциала в точке х0 = 3 при Ах = 0,02, равно:

1) 0,02;2) - 0,14;3) 0,14;4) 0.

5.Угловой коэффициент касательной к графику функции у = 5 — 6х + 2х2 в точке х0 = 3 равен:

1) 5;2) 11;3) -6;4) 6.

6.Дана функция у = 2х4 — х3 — 2. Установите соответствие между производными функции в соответствующих точках и их значениями.

1)У'(-1);А)-И;

2)у'(0);В) 5;

3)у'(1);С) 0.

7.Множество всех первообразных функции у = 26х имеет вид:

1) ех;2) 2ех;

3)-ех+с;4) 26х + С.

26j

8.Определенный интеграл f—x2dx равен:

о2 1

1) 16;2);3) 36;4) 6.

9.Площадь криволинейной трапеции D определяется

интегралом:

9

1)j-Jxdx;

4

9

2)+ ljdx;

4

4

3)+ ljdx; о

4

4)j (Vx + ljdx.

9

10.Если скорость материальной точки, движущейся прямолинейно, равна v(t) = 5t — 4, тогда путь S, пройденный точкой за время t = 2 от начала движения, равен:

1) 5;2) 20;3) 2;4) 18.

11.В результате подстановки t = 1 — 12х интеграл j(l - 12х)5 dx приводится к виду:

1) -12jtsdt;2) ~ft5dt;

3) ft5dx;4) [tsdt.

12.Используя свойства определенного интеграла, инте-

71

2

грал j(xcosx + 9sinx)dx можно привести к виду: о 1 2

Л

Л

1) jxcosxdx +j9sinxdx;

0я

4

Л

2

2) 91 (х cos х + sin х) dx;

Учебное издание

Гилярова Марина Геннадьевна

МАТЕМАТИКА ДЛЯ МЕДИЦИНСКИХ КОЛЛЕДЖЕЙ