Репетитор по математике для 5-9 клас. .. (Балаян)Купить книгу, доставка почтой, скачать бесплатно, читать онлайн, низкие цены со скидкой, ISBN 978-5-222-36189-4

Аннотация к книге "Репетитор по математике для 5-9 клас. ."
автор Балаян

Книга написана на основе действующей программы по математике для 5-9 классов общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Она содержит более 2800 задач, из которых около 800 даны с решениями, а остальные предназначены для самостоятельного решения. Каждая глава разбита на параграфы, большая часть которых сопровождается краткими теоретическими сведениями и методическими рекомендациями и включает достаточное количество примеров с подробными решениями. Задачи тщательно подобраны по принципу однородности тем, типов, методов решения и разбиты на две части по уровню сложности. В заключительной главе даются анализ и причины типичных ошибок, допускаемых школьниками на экзамене. Репетитор адресован учащимся 5-9 классов для самостоятельного повторения основных тем программы, подготовки к ОГЭ, олимпиадам различного уровня, а также студентам педучилищ, учителям математики и репетиторам.

Читать онлайн выдержки из книги "Репетитор по математике для 5-9 клас. ."
(Автор Балаян)

К сожалению, посмотреть онлайн и прочитать отрывки из этого издания на нашем сайте сейчас невозможно, а также недоступно скачивание и распечка PDF-файл.

До книги"Репетитор по математике для 5-9 клас. ."
Вы также смотрели...

Другие книги серии "Большая перемена"

Другие книги раздела "Учебники и учебные пособия по гуманитарным, естественно- научным, общественным дисциплинам"

Читать онлайн выдержки из книги "Репетитор по математике для 5-9 клас. ." (Автор Балаян)

Большая перемена

<ХХХ><><><>0<><><><><><><><><><><><><><><>^^

Э.Н. Балаян

РЕПЕТИТОР

ПО МАТЕМАТИКЕ для 5-9 КЛАССОВ

Подготовка к ОГЭ

800 задач с решениями

Более 2000 задач для самостоятельного решения

Олимпиадные задачи

Типичные ошибки школьников на экзамене

Издание второе

Ростов-на-Дону

{феникс 2022

УДК 373.161.1:51

ББК 22.1я721

КТК 444

Б20

Балаян Э.Н.

Б20 Репетитор по математике для 5-9 классов / Э.Н. Балаян. — Изд. 2-е. — Ростов н/Д : Феникс, 2022. — 575 с. : ил. — (Большая перемена).

ISBN 978-5-222-36189-4

Книга написана на основе действующей программы по математике 5-9 классов для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев.

Она содержит более 2800 задач, из которых около 800 даны с решениями, а остальные предназначены для само

Каждая глава разбита на параграфы, большая часть кото

Задачи тщательно подобраны по принципу однородности тем, типов, методов решения и разбиты на две части по уров

В заключительной главе даются анализ и причины ти

Репетитор адресован учащимся 5-9 классов для само

УДК 373.167.1:51

ISBN 978-5-222-36189-4

© Балаян Э.Н., 2020

© Оформление ООО «Феникс», 2020

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая вниманию читателя книга предназ

Книга состоит из 10 глав, каждая из которых вклю

Главы 1-8 посвящены основным темам программы математики 5-9 классов. Все параграфы построены в основном по одной и той же схеме: необходимый спра

Учитывая, что уровень подготовки каждого школь

Задачи части 1 соответствуют заданиям базового и среднего уровней, поэтому умение их решать доста

Задачи части 2 являются более сложными и на

Наличие в книге задач двух уровней сложности не

В 9-й главе приводятся олимпиадные задачи твор

Наличие разнообразных идей, применяемых при решении задач, таких как делимость чисел, инвари

Ко всем задачам приводятся ответы, указания и решения, причем многие задачи решены различными способами, чтобы школьники могли ознакомиться с сущностью рациональности решения.

Автор настоятельно рекомендует обращаться к решениям, даже когда задача решена, или после мно

В заключительной главе рассматриваются типич

Предисловие •» 5

Для устранения пробелов в знаниях учащихся при

5 КЛАСС

Глава 1

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Натуральные числа и шкалы

Натуральные числа

Это последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, ...

Число 1 — наименьшее натуральное число. Натубесконечен, наибольшего числа в нем нет.

Число 0 не является натуральным.

Если запись числа состоит из одного знака — цифры, то его называют однозначным.

Например, числа 1, 6, 9 — однозначные. Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр, то его называют двузначным.

Числа 13, 29, 37, 89 — двузначные, 183, 566, 999 — трехзначные и т. д.

Отрезок. Длина отрезка. Треугольник

к

Отрезок — это часть прямой, ограниченная с двух сторон. —

Точки А и В — концы отрезка.

Обозначение: АВ или ВА.• n

Точка М расположена на отрезке АВ, а точки К и N — вне отрезка.

Обозначение: М g АВ (М принадлежит АВ);

А 6 АВ (А принадлежит АВ);

В е АВ (В принадлежит АВ);в

К е АВ, N £ АВ (К и N не принадлежат АВ).

Точки А, В и С — вершины / треугольника, а отрезки АВ, ВС £ и АС — стороны треугольника.

MNKL — четырехугольник.

Приведенные фигуры назы- \Тк

ваются многоугольниками.

МL

Плоскость. Прямая. Луч

Примеры плоскостей: лист бумаги, поверхность стола, доски.

Если соединить две точки и провести через них по линейке линию, то полут т

Обозначение: прямая АВАВ

или прямая ВА.

Через любые две точки можно провести лишь одну прямую.

Прямая бесконечна, т. е. не имеет концов.

Всякая прямая делит плоскость на две части, две полуплоскости.

Если прямую АВ разделить _J ♦

точкой О, то получим два луча:

луч ОВ и луч ОА.

Точка О — начало луча, поэтому переставлять буквы в их названиях нельзя.

В отличие от прямой — луч бесконечен только в одну сторону.

Шкалы и координаты

Шкалы встречаются на линейке, термометре, часах и т. д.

О А В С IX

0

На рисунке изображен луч ОХ.

Точка О — начало луча, под ней число 0, под точА — число 1.

Отрезок ОА называется единичным отрезком.

Луч ОХ называется координатным лучом.

Числа 0, 1, 2, 3 ..., соответствующие точкам О, А, В, С ..., называются координатами этих точек и записываются так: О (0), А(1), В(2) и т. д.

Сравнение чисел

Число, которое при счете называют раньше, меньше того, которое при счете называют позже.

Число 1 меньше, чем 5, а число 8 больше, чем 5.

Точка с меньшей координатой лежит на коорди

Например, точка В(2) лежит левее точки С(3) (см. рисунок выше).

Ноль меньше любого натурального числа.

При сравнении чисел используют знаки > (боль

Например: 1 < 7, 8 > 2, 5 = 5.

Число 2 меньше, чем 4, но больше, чем 1. Это за

Легкий способ запоминания знаков > или < для сравнения чисел:

меньшее число должно находиться с острого (маленького) конца знака, а большее — с широкого (большого) конца знака.

Например: 6 < 8, 8 > 6.

§2. Сложение и вычитание натуральных чисел

Сложение натуральных чисел и его свойства

Слагаемые — это числа, которые складывают, а результат их сложения называется суммой.

Например: 3 + 5 = 8, где 3 и 5 — слагаемые, 8 — сумма.

Если переставить слагаемые местами, то сумма не меняется:

2 + 7 = 7 + 2 = 9.

Это свойство называется переместительным".

а + Ь = Ь + а.

Для трех и более чисел:

2 + (4 + 3) = (2 + 4) + 3 = (2 + 3) + 4 = 9. Значит, а + (Ь + с) = (а + Ь) + с = b + (а + с). Это свойство сложения называется сочетатель

ным.

Если к числу прибавить ноль, то сумма равна са

Например: 6 + 0 = 6.

Верно и обратное: при прибавлении числа к нулю сумма равна прибавляемому числу:

0 + 6 = 6.

Значит, а + 0 = а, 0 + а = а.

Вычитание натуральных чисел и его свойства

19 - 8 = 11, где 19 — уменьшаемое, 8 — вычитае

Число, из которого вычитают, называется умень а число, которое вычитают, — вычитае

Результат вычитания называется разностью.

Разность двух чисел показывает, на сколько уменьшаемое больше вычитаемого или на сколько вычитаемое меньше уменьшаемого:

8-3 = 5, 8 > 3,

8 больше 3 на 5.

Пример 1.627 - (227 + 34) = 627 - 261 = 366.

Проще считать так: 627 - (227 + 34) = 627 - 227 - - 34 = 400 - 34 = 366.

Значит, а - (Ь + с) = а - Ь - с.

Это свойство называется свойством вычитания суммы из числа.

Пример 2. 463 - 35 - 65 = 428 - 65 = 363.

Решим проще: 463 - 35 - 65 = 463 - (35 + 65) = = 463 - 100 = 363.

Это свойство вычитания числа из суммы.

Пример 3. (649 + 174) - 349 = 823 - 349 = 474.

Проще решить так: (649 + 174) - 349 = 649 - - 349 + 174 = 300 + 174 = 474.

Уравнение

Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное.

Например: х + 3 = 8.

Если х = 5, то 5 + 3 = 8 — верно;

если х = 6, то 6 + 3 = 9 — неверно.

Число х = 5 называется корнем уравнения.

Значит, корнем уравнения называется число, ко

Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что их нет.

Пример 1. х + 34 = 73.

х = 73 - 34, или х = 39 — корень уравнения, так как 39 + 34 = 73 — верно.

? Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из сум- \ мы вычесть известное слагаемое.

Пример 2. у - 14 = 55.

у = 55 + 14, или у = 69 — корень уравнения, так как 69 - 14 = 55 — верно.

( Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сло-

*> жить разность и вычитаемое.

Пример 3. 69 - а = 28.

а = 69 - 28, или а = 41 — корень уравнения, так как 69 - 41 = 28 — верно.

( Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из J уменьшаемого вычесть разность.

Пример 4. Две дыни весят 8 кг, причем масса од

Решение.

Пусть масса второй дыни х кг. По условию зада

Ответ: 5 кг.

§3. Умножение и деление натуральных чисел

Умножение натуральных чисел и его свойства

Выражение вида a • Ь, а также значение этого выражения называется произведением чисел а и Ь.

Числа а и Ъ называются множителями.

7 • 3 = 21, где 7 и 3 — множители, 21 — произве

a - b = Ъ • a — переместительное свойство умно

a • (Ь • с) = Ь ' (а • с) = с • (а • Ь) — сочетательное свойство умножения.

Например: (7 • 3) • 2 = 21 • 2 = 42, или 7 • (3 • 2) = = 7 • 6 = 42, или 3 • (7 • 2) = 3 • 14 = 42.

Вместо 6 • а пишут 6а, вместо а • Ь пишут аЪ.

Аналогично вместо 4 • (т + п) пишут 4(тп + п), вместо (а + 8) • (Ь + 3) пишут (а + 8)(& + 3), вместо а • (& • с) пишут аЬс.

Деление натуральных чисел и его свойства

Деление — это действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят второй множитель.

Например: 48 : 12 = 4, где 48 — делимое, 12 — делитель, 4 — частное.

Число, которое делят, называется делимым, число, на которое делят, называется делителем, а результат деления называется частным.

Частное показывает, во сколько раз делимое больше делителя.

Выражение вида а : 0 не имеет смысла:

а • 1 = а, а : 1 = а и а : а = 1.

Деление с остатком

16 : 5 = 3 (1 остаток).

16 — делимое, 5 — делитель, 3 — неполное част

15 : 5 = 3.

Если в остатке ноль, то делимое делится на дели(без остатка).

16 = 5-3 + 1.

Чтобы найти делимое, надо перемножить дели

3.4. Порядок выполнения действий

I ступень — сложение и вычитание’,

II ступень — умножение и деление.

Пример 1. Найти значение выражения 34 + 66 - - 28 -32.

Решение.

1) 34 + 66 = 100; 2) 100 - 28 = 72;

3) 72 - 32 = 40.

Ответ: 40.

Пример 2. Вычислить: 48 : 6 - 22 : 16 - 3.

Решение.

1)48:6 = 8;

3)176:16 = 11; 4)11-3 = 33.

Ответ: 33.

Пример 3. Вычислить: 35 - 6 • 3 : 2 + 7 • 7.

Решение.

1) 6 • 3 = 18;

4) 35 - 9 = 26;

Ответ: 75.

Пример 4. Вычислить: 63 : (44 - 38 + 3) - 18 : 6. Решение.

1) 44 - 38 = 6;

4) 18 : 6 = 3;

Ответ: 4.

Упрощение выражения

Рассмотрим два выражения:

(4 + 3) • 5 и 4 • 5 + 3 • 5,

(4 + 3) • 5 = 7 • 5 = 35 и 4 • 5 + 3 • 5 = 20 + 15 = 35. Как видим, значения обоих выражений равны 35. Значит, (4 + 3) • 5 = 4 • 5 + 3 • 5.

С помощью букв получим

(а + Ь) • с = а • с + b • с.

Это свойство умножения называется распредели

Аналогично (а - Ъ) • с = а • с - Ь • с.

Например: (9 - 4) • 3 = 9 • 3 - 4 • 3.

Используя распределительное свойство умноже

Например: 4х + 3х = 4- х + 3- х = (4 + 3)-х = 7х;

5а + а = 5,а+1,а = (5 4-1),а = 6а;

7у - 2у = 7 • у - 2 • у = (7 - 2) • у = 5у, 86 - b = 8 • Ь - 1 • Ъ = (8 - 1) • b = 7Ь.

Степень числа. Квадрат и куб числа

Запись 25 читается так:

2 в пятой степени обозначает произведение пяти множителей, каждый из которых равен двум.

Число 2 называется основанием степени.

Число 5 — показатель степени, показывает, сколько множителей в произведении.

Примеры:

а) 3 • 3 • 3 = З3 = 27; б) 5 • 5 • 5 • 5 = 54 = 625;

в) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 26 = 64.

Число х во второй степени х2 = х • х называют х в квадрате.

Аналогично х3 = х • х • х называют х в кубе.

Примеры:

а) З3 + 24 = 27 + 16 = 43; б) З2 • 42 = 9 • 16 = 144;

в) (3 + 5)2 = 82 = 64.

§4. Формулы скорости, плошали и объема

Формулы. Формула скорости, пути

v = S : t — формула скорости, где S — путь, t — время.

S = v • t — формула пути.

Плошадь. Формула плошали прямоугольника

S = a • Ь, где a — длина, b — ширина, S — пло

Если длина и ширина выражаются в см, то пло2.

Если длина и ширина вы-

ражаются в метрах, то пло2. ь

1 га = 100 м • 100 м =

= 10 000 м2;

1 а = 10 м • 10 м = 100 м2.a

Так как 1 дм = 10 см, то 1 дм2 = 1 дм • 1 дм = = 10 см • 10 см = 100 см2.

Значит, 1 дм2 =100 см2.

Аналогично, 1 м = 10 дм, 1 м2 = 10 дм • 10 дм = = 100 дм2.

Кроме того, 1 м2 = 100 дм2 = 100 см • 100 см = = 10 000 см2.

1 см2 = 1 см • 1 см = 10 мм • 10 мм = 100 мм2.

Если длина и ширина прямоугольника записаны в разных единицах, то их надо привести к одной единице измерения длины.

Прямоугольный параллелепипед. Объем.

У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер, 6 граней, 8 вершин.

Все грани — прямоугольники.

Если a — длина, b — ширина, с — высота, то пло

S = 2(ab + be + ac), V = a • b • c — объем.

a, b, с называют измерениями параллелепипеда.

Если a = 6 = с, т. е. измерения параллелепипеда равны, то по

У куба все грани — равные квадраты.

Поверхность куба S = 6a2.

Объем куба V = a • a • a = a3.

Если a = 1 см, то V = 1 см3.

Глава 2

ДРОБНЫЕ ЧИСЛА

§5. Обыкновенные дроби

Окружность и круг

Окружностью называется кривая замкнутая линия на плоскости, все точки кото

Хорда___)» в

О — центр окружности.

Отрезок, соединяющий

центр окружности с точкой А

на окружности, называется радиусом.

АО = ОВ = ОС = R — радиус.

Отрезок, соединяющий две z' 'х точки окружности, называется /

хордой.Круг )

Хорда, проходящая через \J

центр, называется диаметром. /х

D = АВ — диаметр, АВ = 2R./

Часть плоскости, ограниченкругом.

Часть окружности называется дугой.

\jAC — дуга AC, \jCB — дуга СВ, \jACB — дуга

АСВ

Доли. Обыкновенные дроби А

АВ = 7 см.।1

J0123456

Значит, 1 см = —АВ. 7

Некоторые доли имеют названия: 1 11 — — половина, — — треть, — — четверть.

з

Запись — называется обыкновенной дробью.

Число 3, написанное над чертой, называется числителем дроби, а число 5, написанное под черзнаменателем дроби.

Знаменатель показывает, на какое количество частей разделили, а числитель — сколько взято таких частей.

Дроби можно изображать на координатном луче: А

।

°1234561 7

Отрезок ОА = у ОЕ.

Отрезок ОЕ — единичный отрезок.

Правильные и неправильные дроби

Дробь, у которой числитель меньше знаменате

ля, называется правильной.

3 7 Например: —, —,

23

149’

Дробь, у которой числитель больше или равен

знаменателю, называется неправильной.

Например: —, —, 5 3

11 2020

4 ’ 2020’

Всякая правильная дробь меньше 1.

п

Например: — <1, —<1,

4

Всякая неправильная дробь больше 1 или равна 1.

„

Например: — >1, — = 1, —>1, = 1.

5

Сравнение дробей

7

14<14’ 15 > 15

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та меньше, у которой числитель меньше, и та дробь больше, у которой числитель больше.

47

9<5’ 8>11'

Из двух дробей с одинаковыми числителями та меньше, у которой знаменатель больше, тд. та дробь больше, у которой знаменатель меньше.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

4 з _4+з 7. 2

11 + 11- 11 "11’ 15 + 1515’

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменате

В буквенном виде записывают так: а Ь а + Ь —+ - =

с с с

523

19 19 19’ 47 47 ~ 47

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знамена

В буквенном виде записывают так: a b_a-b с с с

Деление и дроби

7:9=—.

9

Дробная черта означает деление.

Всякое натуральное число можно представить в виде дроби с любым натуральным знаменателем.

„

Например: 4= g = g = g и т- Д’

Числитель дроби равен произведению числа и знаменателя дроби.

Например: 9 = —; х = 9 • 2; х = 18. Значит, 9 = —. 2

_a Ъ a + Ь zii.\

Так как —+- =а : с + b : с = (а + Ь): с.

с с с

Смешанные числа

г»5

Запись вида 4— называется смешанным числом.

5

Его можно записать в виде 4 — = 4 + —, где 4 — целая 8

5 часть, — — дробная часть числа.

17

Рассмотрим неправильную дробь —. Если разде- 8

лить 17 на 8, то в целую часть запишем неполное частное 2, в числитель — остаток от деления 1, в знаменатель — 8, то получим смешанное число

2 —. Это действие называется выделение целой части.

. 2

®,5®.

7

„О1 23 _ 1

Значит, — = 2 ; — = 2 —; — = 4 . 8

4 1

777)

6--1- =(6- 1)+ \ - 5

9

9j I

7^-35 = 9

.,8,8

= 4 + — = 4 —.

9

8—-3 —= 7^^-3— = 9

= (7 - 3) + [—--

19 9

В последнем примере целую часть уменьшаемого уменьшили на 1, а к числителю прибавили знаме

§6. Десятичные дроби.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Десятичная запись дробных чисел

Если дроби содержат в знаменателе числа 10, 100, 1000 и т. д., то их принято записывать без зна

Например: — = 0,6; -^^ = 0,11; 4-^- = 4,29;

10

73 43 =73,043.

1000

(Если дробь правильная, то в начале числа пишут целую часть — ноль, а после запятой — числитель дробной части, который должен содержать столько цифр, сколько нулей в знаменателе дроби.

Десятым соответствует одно число после запятой.

7 Например: 0,7 — семь десятых — —.

Сотым соответствуют два числа, а тысячным — три числа после запятой.

Например: 4,09 — четыре целых девять сотых 9

4^^; 74,003 — семьдесят четыре целых три ты-

3

сячных — 74

1000

Числа, записанные в таком виде, называются де

Сравнение десятичных дробей

Заметим, что дроби 0,32 и 0,320 равны друг дру

Следует отметить, что нули, приписанные в конне меняют ее величины и на координатном луче они будут совпадать.

При сравнении десятичных дробей, прежде всего сравниваем целые части (расположены слева от запятой).

Например: 4,71 > 3,89, так как 4 > 3.

Если целые части равны, то сравниваем дробные части.

тто а ОЛ

Например: 6,78 > 6,39, так как

100 100

Может случиться, что количество цифр после запятой у сравниваемых дробей различно, тогда к дроби, где количество цифр после запятой меньше, приписываем столько нулей, чтобы количество цифр после запятой стало одинаковым.

Например: 8,6 и 8,47.

К числу 8,6 припишем ноль, тогда 8,60 > 8,47, 60

так как

100 100

Сложение и вычитание десятичных дробей

Пример 1.43,17 + 19,8.

Решение.

Уравняем количество цифр после запятой, для чего ко второму числу припишем один ноль:

43,17 + 19,80 = 43 —+ 19 — = (43 + 19) +

100

+ Г _1L + -80? = 62 + 17 + 80 =62— = 62,97.

= 62 +

Цоо 100)

Теперь выполним сложение в столбик:

43,17

19,80

62,97.

При сложении запятую пишем под запятой.

Пример 2. 94,48 - 51,302.

Решение.

94,48 - 51,302 = 94,480 - 51,302 = 94

1000

= (94 - 51) + [480~302= 43 + 178 = 43,178.

1000 )

Выполним вычитание в столбик:

94,480

51,302

43,178.

При сложении (вычитании) десятичных дробей надо:

Уравнять количество знаков (при необходимо

Дроби необходимо записать так, чтобы запя

Сложить (вычесть), не обращая внимания на запятую.

В полученной сумме (разности) поставить за

Приближенные значения чисел. Округление чисел

На практике мы часто пользуемся приближенны

Если, например, арбуз весит 8,150 кг, то обычно мы говорим, что арбуз весит примерно 8 кг. В данном случае массу арбуза мы округлили с недостатком.

Если в 08:57 на вопрос: «Который час?» мы отве

|При округлении числа до какого-нибудь разряда цифры во всех следующих разрядах надо заменить нулями, а стоящие после запятой отбрасывают.

Если следующая за остающимся разрядом цифра равна или больше 5, то остающийся разряд увели- ? чивают на 1. Если же она меньше 5, остающийся ) разряд оставляют без изменения.

? Например:

; округлим до десятков 238 ® 240;

\ округлим до десятых 475,34 ~ 475,3;

? округлим до сотых 93,048 « 93,05;

J округлим до сотых 61,296 ® 61,30 = 61,3.

Возможны случаи, которые вызывают путаницу:

1) округлим до десятков 7598 « 7600.

Здесь похоже, что как будто мы округлили до со

2) округлим до сотых 43,498 ® 43,5.

Похоже, что мы округлили до десятых, на самом деле цифра 8 в тысячных вынуждает нас увеличить сотые 9 + 1 = 10, тогда в сотые мы записали 0, а де

§ 7. Умножение и деление десятичных дробей

7.1. Умножение десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо: >

( на запятые;

i 2) в произведении отделить запятой справа г столько цифр, сколько их стоит всего после запятой ) в обоих множителях.

Например:

1) 3.874 • 0,53 = 2.05322.

3874

11622

+19370

205322

2) 0,072 • 0,45 = 0.03240 = 0.0324.

72

х 45

+ 360

288

3240

При умножении любого числа на 0,1; 0,01; 0,001 надо разделить это число на 10, 100 или 1000 соот

Например:

1)22 0,1 = 2,2; 22: 10 = 2,2;

2) 34 • 0,01 = 0,34; 34 : 100 = 0,34;

3) 684 • 0,001 = 0,684; 684 : 1000 = 0,684.

Чтобы умножить десятичную дробь на натураль

1) выполнить умножение, не обращая внимания на запятую;

2) отсчитать в произведении справа налево столь

Например: 4,73 • 26 = 122.98.

2838

946 12298

При умножении десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. нужно перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей стоит в множителе.

Например:

6,544 • 10 = 65,44; 6,544 • 100 = 654,4;

6,544 • 1000 = 6544.

Деление десятичных дробей

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:

Разделить дробь на это число, не обращая вни

Поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.

Если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых.

Например:

а) 49 : 16 = 3,0625; б) 60 : 24 = 2,5.

120

120

100

96

40

32

80

80 0

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо перенести запятую в этой дроби влево на столько знаков, сколько нулей в делителе.

Например:

61,8 : 10 = 6,18; 521 : 100 = 5,21; 36,8 : 1000 = = 0,0368.

? Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную

1 дробь, надо:

с 1) в делимом и делителе перенести запятую enpa- ) во на столько цифр, сколько их после запятой в

( делителе;

?

\ ное число.

Например:

14,694 : 2,37 = 1469,4 : 237 = 6,2.

1469,4 |237

1422 [6^"

474

474

0

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое двух (и более) чисел равно сумме этих чисел, деленной на количество этих чисел.

Например:

Среднее арифметическое а и & равно х = (а + Ь): 2.

Для трех чисел а, Ь, с х = (а + b + с): 3 и т. д.

кN

।

0 1

Координата точки М(4) является средним арифN(7).

4 = (1 + 7): 2.

Кроме того, КМ = MN, т. е. М — середина KN.

7А. Проценты

Процентом называется одна сотая часть.

1% = — = 0,01; 6% = — = 0,06;

100

28% = — = 0,28; 80% = — = 0,8. 100

Пример 1. Найти 30% от 400.

I способ: 30% от 400 = 400 : 100 • 30 = 120;

II способ: 30% от 400 = 0,30 • 400 = 120.

Пример 2. На даче растет 6 кустов красных роз, что составляет 25% от всех роз на даче. Сколько кус

Решение.

6 : 25 • 100 = 0,24 • 100 = 24 куста роз или 6 : 0,25 = 600 : 25 = 24 куста роз.

Ответ: 24 куста роз.

ЗАДАЧИ

Часть 1

Записать цифрами приведенные ниже числа:

Тринадцать тысяч двести девяносто три;

Четыре миллиарда шестнадцать миллионов тринадцать.

Записать три раза подряд число 11, а затем че

Выразить в килограммах:

а) 4 т 232 кг; б) 15 т 7 ц 31 кг.

Выразить в килограммах и граммах:

а) 6732 г; б) 27 543 г.

Какое число больше: двузначное или четырех

Гриша с Артуром ходили в лес за грибами. Гри

Выполнить действия:

а) (32 + 15) + 17; б) 44 + (13 + 14) + 51.

Выполнить вычитание:

а) 523 - 429; б) 312 - 19.

Рост Андрея 163 см, а рост Вадима на 15 см мень

Найти значение выражения, используя свой

а) 1523 - (416 + 733); б) (629 + 56) - 429.

Найти значение выражения

123 - (х + 15), если: а) х = 13; б) х = 106.

Рост Бориса х см, а рост Юрия на 3 см больше. Какой рост у Юрия, если х = 151 см?

Найти значение выражения

х - 12 - 34 - 86, если х = 169;

17 + х + 81, если х = 13.

Решить уравнение:

а) х + 17 = 128; б) у - 15 = 29; в) 55 - а = 13.

Найти значение произведения:

а) 34-81; б) 42-103.

Найти значение выражения:

23 + 23 + 107 + 107 + 107;

17 + 17 + 17 + 17 + 213 + 213.

Найти значение выражения:

а) (146 - 18): 8 + 34 • 9; б) 148 : 4 - 55 : 11.

Решить уравнение:

а) 132 • х = 792; б) 256 : у = 16.

Выполнить деление с остатком:

а) 249 : 15; б) 543 : 20.

Найти значение выражения:

а) 34 • 12 + 56 • 12; б) 433 •17 - 33• 17.

Решить уравнение:

а) 14х + 5х = 57; б) 36г/ - 8у + 12у = 400.

Найти значение выражения

612-4: 48-14-2.

Составить схему вычисления и найти значение выражения 72 + 468 : (83 • 9 - 729).

Найти значение выражения:

а) 53 - 43; б) (22 + З3) • 42 - 63.

Найти значение х, если х2 - 31 = 330.

Найти по формуле S = v • t скорость, если:

a) t = 4 ч, S = 300 км; б) t = 5 мин, S = 1000 м.

Найти по формуле S = v • t путь, если:

a) v = 5 км/ч, t = 4 ч; б) v = 25 м/мин, t = 6 мин.

Найти площадь прямоугольника, если его дли

Чему равна сторона квадрата с площадью 144 см2?

Выразить:

в квадратных метрах: 2 га; 12 а; 3 га 5 а;

в гектарах: 30 000 м2; 4 км2 15 га.

Найти площадь квадрата со стороной 3 дм и выразить ее в см2.

Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 3 см, 5 см и 12 см.

Найти объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3 см, 5 см, 8 см.

Выразить в кубических дециметрах: а) 2 м3 32 дм3; б) 5 м3 310 дм3.

Начертить окружность с центром в точке О и ра

Начертить координатный луч с единичным от

ки М — и N — . Чему равна длина отрезка MN1 \ 3 у

В бассейн налили 900 л воды, и оказалось, что бассейн заполнен на треть. Сколько литров воды поме

Сравнить дроби: ч 5

.5

а) — и —; б) — и —.

17

в

17

Расставить дроби 2

порядке возрастания:

11’ 11’ 11’ 11’ 11’

порядке убывания:

_ _ _ _ _ 12

13’ 13’ 13’ 13’ 13’ 13’

41. Дневной план токаря — 28 деталей. За день он 3

выполнил — плана. Сколько деталей выточил токарь

за день?

Расставить дроби 7

Найти утроенный куб знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее сум

Произведение первого, третьего и пятого чле

Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член относится к сумме всех последующих членов как 2:3.

Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член в 4 раза больше суммы всех ее последующих членов.

Найти первый член арифметической прогрес

Три различных числа образуют арифметичес

Сумма трех чисел, составляющих арифмети

Четыре числа составляют арифметическую прогрессию. Если из них вычесть соответственно 2, 6, 7 и 2, то вновь полученные числа составят геометриче

Найти трехзначное число, если его цифры об

Глава 9

ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 5-9 КЛАССОВ

§34. Условия задач 5 класс

Мальчик нарисовал 4 луча с началом в точке О. Сколько острых углов получилось?с

Гусеница ползет по стволу то-

поля. За первый час она поднялась /s'" в

на 10 см, за второй час опустилась на .л

4 см, за третий час вновь поднялась на 10 см, а за четвертый — опусти

лась на 4 см. Так гусеница продолжала подниматься и опускаться в течение нескольких часов. На сколько гусеница поднимется за 11 ч?

Вписать в квадратики цифры от 0 до 9 без повто

Не производя указанных действий, установить, правильной или неправильной дробью является число 1915 2021-106 1915 + 2021 1914'

Найти такие пары натуральных чисел, сумма которых больше их произведения.

В классе 17 пловцов, 6 борцов и 13 шахматистов. Известно, что каждый спортсмен занимается двумя видами спорта. Сколько в классе спортсменов?

Заполнить пустые клетки так, чтобы сумма чи

На какое наибольшее число частей можно раз

Найти наименьшее натуральное число, которое кратно числам 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10.

Расставить в записи 412 + 18:6 + 3 скобки так, чтобы получился наименьший возможный ре

На сколько процентов увеличится объем пря

В одном доме живут 23 ученика одной и той же школы. В этой школе 22 класса. Доказать, что хотя бы два ученика, живущих в этом доме, учатся в одном и том же классе.

Который сейчас час, если оставшаяся часть су

Разделить 8 л молока поровну, имея посуду ем

.4 землекопа за 4 ч выкопали 4 ямы. Сколько ям выкопают 8 землекопов за 6 ч?

Составить 3 арифметических примера на три разных действия, причем в эти примеры должны вой2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например: 7 + 1 = 8; 9-6 = 3; 4-5 = 20.

Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 100. Найти уменьшаемое.

Найти наименьшее число, которое записано только единицами и делится на 33.

Сколько раз цифра 7 встречается в записях всех чисел от 50 до 100?

Одно число в 13 раз больше другого. Во сколько раз НОК этих чисел больше их НОД?

Сколько треугольников на рисунке?

Вычислить

1111

—I

2 2 2

13 раз

7 раз

25 раз

Восстановить цифру а в числе 7аа4, которое делится на 9.

Сколько слагаемых с числителем 1 пропущено 4

н р 13 13 13

В прямоугольнике размерами 50 дм х 12 дм большую сторону уменьшили на 50%, а меньшую увеличили на 150%. Как изменилась площадь прямо

5

До конца суток осталось — того времени, что 3

уже прошло от начала суток. Сколько сейчас времени?

ОТВЕТЫ

5 КЛАСС

Глава 7. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА §§1-7

Часть 1

1. а) 13 293; б) 4 016 000 013. 2. а) 117 единиц. 3. а) 4232 кг; б) 15 731 кг. 4. а) 6 кг 723 г; б) 27 кг 543 г. 5. четырехзначное. 6. 42 гриба. 7. а) 64; б) 122. 8. а) 94; б) 293. 9. 148 см. 10. а) 374; б) 256. 11. а) 95; б) 2. 12. 154 см. 13. а) 37; 6)111. 14. а)х = = 111; б) у = 44; в) a = 42. 15. а) 2754; б) 4326. 16. а) 367; б) 494. 17. а) 322; б) 32. 18. а) х = 6; б) у = 16. 19. а) 16 — неполное частное, 9 — остаток; б) 27 — неполное частное, 3 — остаток. 20. а) 1080; б) 6800. 21. а) х = 3; б) у = 10. 22. 23. 23. 98. 24. а) 61; б) 280. 25. х = 19. 26. а) 75 км/ч; б) 200 м/мин. 27. а) 20 км; б) 150 м. 28. 40 см2. 29. 12 см. 30. а) 20 000 м2; 1200 м2; 30 500 м2; б) 3 га; 415 га. 31. а) 900 см2. 32. 222 см2. 33. 120 см3. 34. а) 2032 дм3; б) 5310 дм3.

Глава 2. ДРОБНЫЕ ЧИСЛА

1

35. 6 см. 36. MN = — . 37. 2700 л. 38. а) — > —;

3

7

43. х = ——. 44. — = 7. 45. 60. 46. a) a = 7; б) Ь = 4. 13

члв2 .1Л3ч7

47.а)48. а)

2

49.х = 4 — .50. 21 —51.а)52.3-.

7

53. а) 6,3; б) 5,13; в) 2,011; г) 9,0203. 54. а) 1-;

5

19

б) 4 — ; в) 66 — ; г) 43 — . 55. а) 2063,84 кг; 100

б) 6014,99 кг. 56. а) 12,06 < 13,58; б) 15,47 < 15,48; в) 23,005 < 23,015. 57. 0,002; 0,013; 0,221; 0,749; 0,841. 58. а) 14,253; б) 6,429. 59. 21,333. 60. а) «3,5; б) « 4,1; в) « 6,3; г) « 9,2. 61. « 21 см. 62. х « 14,59. 63. а) 20,92; б) 64,4; в) 31. 64. 22,68 см. 65. 302 км. 66. а) 4,8; б) 10,2; в) 0,123. 67. 31,8. 68. х = 4,3. 69. а) 15,725; б) 0,152; в) 2,3177. 70. 97,336 см3. 71. 53,0415. 72. а) 13,4; б) 0,47; в) 6,6. 73. х = 0,23. 74. 3,7. 75. 16,6. 76. а) 38%; б) 68,3%; в) 461%. 77. 24. 78. 496. 79. На 15%. 80. 400.

Часть 2

1. 1288, оканчивается цифрой 8. 2. ЛГУ = 9 см. 3. АВ > CD. 4. 1096. 5. 132 + 893 > 116 + 645. 6. 23 см. 7. 7 см. 8. 24 см. 9. 15 см; 13 см. 10. х = = 34. 11. 14 и 11 лет. 12. В двух больших — 140 кг, в трех маленьких — 120 кг. 13. 2 • 15; 2 • 42; 8 • 43; 15 • 82; 16 • 102. 14. ВI — 103 слов, во II — 309 слов. 15. 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. 16. 18; 31; 44; 57. 17. 6400. 18. 102. 19. у = 12 ; у = 1. 20. 8 = 6&2; S = 96 см2.

16х-4

21. 150 см2. 22. S = 2(ху + 6х + бу); Я = 108. 23. 360 см. 24. 216 см2. 25. 12 см. 26. 380 км.

77

27. 340 руб. 28. у = 11. 29. 44. 30. а) х = 2; б) х = 2.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

5 КЛАСС Глава 1. Натуральные числа

1. Натуральные числа и шкалы

Отрезок. Длина отрезка. Треугольник ... 6 1.3. Плоскость. Прямая. Луч

Шкалы и координаты

Сравнение чисел

. Сложение и вычитание натуральных чисел

Сложение натуральных чисел и его свойства

Вычитание натуральных чисел и его свойства

Уравнение

. Умножение и деление натуральных чисел

Умножение натуральных чисел и его свойства

Деление натуральных чисел и его свойства

Деление с остатком

Порядок выполнения действий

Упрощение выражения

Степень числа. Квадрат и куб числа

. Формулы скорости, площади и объема

Формулы. Формула скорости, пути

Площадь. Формула площади прямоугольника

Прямоугольный параллелепипед. Объем

Глава 2. Дробные числа18

5. Обыкновенные дроби

Окружность и круг

Доли. Обыкновенные дроби

Правильные и неправильные дроби

Сравнение дробей

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Деление и дроби

Смешанные числа

. Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей

Десятичная запись дробных чисел

Сравнение десятичных дробей

Сложение и вычитание десятичных дробей

Приближенные значения чисел. Округление чисел

7. Умножение и деление десятичных дробей

Умножение десятичных дробей

Деление десятичных дробей

Среднее арифметическое

Проценты

Задачи30

Часть 1

Часть 2

6 КЛАСС

Глава 3. Обыкновенные дроби43

. Делимость чисел

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа

Наименьшее общее кратное (НОК)

чи54

Часть 1

Часть 2

. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Основное свойство дроби

Сокращение дробей

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание смешанных чисел

Задачи66

Часть 1

Часть 2

10. Умножение и деление обыкновенных дробей

Умножение дробей

Нахождение дроби от числа

Применение распределительного свойства умножения

Взаимно обратные числа

Деление дробей

Нахождение числа по его дроби

Дробные выражения

Задачи84

Часть 1

Часть 2

. Отношения и пропорции

Отношения

Пропорции

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Масштаб

Длина окружности и площадь круга

Шар

Задачи106

Часть 1

Часть 2

Глава 4. Рациональные числа108

12. Положительные и отрицательные числа

Координаты на прямой

Противоположные числа

Модуль числа

Сравнение чисел

Задачи113

Часть 1

Часть 2

13. Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Сложение чисел с помощью координатной прямой

Сложение отрицательных чисел

Сложение чисел с разными знаками

Вычитание

Задачи117

Часть 1

Часть 2

14. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел

Умножение

Деление

Рациональные числа

Свойства действий с рациональными числами

Задачи124

Часть 1

Часть 2

. Решение уравнений

Раскрытие скобок

Коэффициент

Подобные слагаемые

Решение уравнений

Задачи131

Часть 1

Часть 2

16. Координаты на плоскости

Координатная плоскость

Перпендикулярные прямые

Параллельные прямые

Задачи136

Часть 1

Часть 2

7-9 КЛАССЫ

Глава 5. Тождественные преобразования выражений

. Преобразование алгебраических выражений

Формулы сокращенного умножения

Свойства степеней

Свойства арифметических корней .... 139

Задачи154

Часть 1

Часть 2

Глава 6. Алгебраические уравнения и системы уравнений

18. Линейные уравнения

Задачи164

Часть 1

Часть 2

19. Системы линейных уравнений

Способ подстановки

Способ сложения

Графический способ решения систем I степени

Задачи173

Часть 1

Часть 2

. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным. Теорема Виета и ее применение

Неполные квадратные уравнения

Квадратные уравнения общего вида.. 180

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Применение теоремы Виета

Задачи186

Часть 1

Часть 2

. Алгебраические уравнения высших степеней

Задачи для самостоятельного решения210

. Системы нелинейных уравнений

Задачи

Часть 1

Часть 2

. Текстовые задачи

Задачи

Задачи

Задачи

Задачи

Задачи

Задачи

Задачи244

Задачи на составление уравнений I степени

Задачи на составление систем уравнений I степени

Задачи на составление квадратных уравнений

Задачи на составление систем уравнений II степени

. Иррациональные уравнения и системы уравнений

Метод возведения обеих частей в одну и ту же степень

Метод введения новых переменных

Искусственные приемы решения

Задачи268

Часть 1

Часть 2

. Уравнения и системы уравнений с модулем....271

Уравнения с модулем

Системы уравнений с модулем

Задачи

Часть 1

Часть 2

Глава 7. Неравенства и системы неравенств280

. Линейные неравенства

Задачи282

Часть 1

Часть 2

. Рациональные неравенства

Простейшие неравенства, представленные в виде произведения линейных множителей

Простейшие неравенства, разлагающиеся на линейные множители

Простейшие дробно-рациональные неравенства без кратных корней

Неравенство, содержащее множитель, не принимающий нулевого значения на числовой прямой

Простейшие неравенства с кратными корнями

Задачи290

Часть 1

Часть 2

. Системы неравенств

Задачи300

Часть 1

Часть 2

. Неравенства с модулем

Задачи310

Часть 1

Часть 2

. Иррациональные неравенства

Задачи317

Часть 1

Часть 2

Глава 8. Прогрессии

. Арифметическая прогрессия

. Геометрическая прогрессия

. Разные задачи на прогрессию

Задачи335

Часть 1

Часть 2

. Условия задач

6 класс

7 класс

8 класс

9 класс

§35. Ответы, указания, решения

5 класс

6 класс

7 класс

8 класс

9 класс

Глава 10. Типичные ошибки школьников на экзамене513

. Вычислительные ошибки

Действия с обыкновенными и десятичными дробями

Нахождение значений выражений, содержащих степени

Нахождение значений выражений, содержащих корни

. Ошибки в тождественных преобразованиях

Действия с многочленами

Действия с алгебраическими дробями

Преобразование выражений, содержащих корни и степени с дробными показателями

. Ошибки при решении различных типов уравнений

. Ошибки при решении неравенств

. Ошибки при исследовании функций, их свойств и

5 класс

6 класс

7-9 классы

Литература

ЕНЕ

Учебное издание

Балаян Эдуард Николаевич РЕПЕТИТОР ПО МАТЕМАТИКЕ

ДЛЯ 5-9 КЛАССОВ

Ответственный редактор С. Осташов Технический редактор Л. Багрянцева

Формат 84 х 108 1/32. Бумага тип № 2.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 30,24. Тираж 3000 экз. Заказ №

Импортер на территории ЕАЭС: ООО «Феникс»

344011, Россия, Ростовская обл., г. Ростов-на-Дону, ул. Варфоломеева, 150 Тел./факс: (863) 261-89-50, 261-89-59

Изготовлено в Украине. Дата изготовления: 07.2021.

Срок годности не ограничен. Изготовитель: ООО «БЭТ».

61024, Украина, г. Харьков, ул. Максимилиановская, 17