Математика: авторский курс подготовки к ЕГЭ. - Изд. 5-е. (Малкова)Купить книгу, доставка почтой, скачать бесплатно, читать онлайн, низкие цены со скидкой, ISBN 978-5-222-32339-7

Аннотация к книге "Математика: авторский курс подготовки к ЕГЭ. - Изд. 5-е"
автор Малкова

Авторский курс подготовки к ЕГЭ — результат многолетней работы Анны Малковой по подготовке к ЕГЭ и к вступительным экзаменам в вузы. Данная книга подойдет учащимся с любым уровнем знаний и поможет сдать ЕГЭ на 75-100 баллов. Все задачи пособия полностью соответствуют программе подготовки к ЕГЭ.

Читать онлайн выдержки из книги "Математика: авторский курс подготовки к ЕГЭ. - Изд. 5-е"
(Автор Малкова)

К сожалению, посмотреть онлайн и прочитать отрывки из этого издания на нашем сайте сейчас невозможно, а также недоступно скачивание и распечка PDF-файл.

До книги"Математика: авторский курс подготовки к ЕГЭ. - Изд. 5-е"
Вы также смотрели...

Другие книги серии "Авторский курс"

Другие книги раздела "Учебники и учебные пособия по гуманитарным, естественно- научным, общественным дисциплинам"

Читать онлайн выдержки из книги "Математика: авторский курс подготовки к ЕГЭ. - Изд. 5-е" (Автор Малкова)

Серия «Авторский курс»

А. Г. Малкова

МАТЕМАТИКА

авторский курс

ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ

Издание 5-е

Ростов-на-Дону

Феникс

2019

УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я721 КТК444

М19

Малкова А. Г.

М19 Математика : авторский курс подготовки к ЕГЭ / А. Г. Малкова. — Изд. 5-е. — Ростов н/Д : Феникс, 2019. — 540, [1] с.: ил. — (Авторский курс).

ISBN 978-5-222-32339-7

Предисловие

Дорогие друзья!

Я репетитор-практик с опытом работы более 20 лет. Много лет я работаю на результат. Мои ученики отлично осваивают математику и поступают в выбранные вузы. А это значит, что каждый день я решаю творческую задачу: как объяснить максимально просто, интересно и понятно.

Старшеклассникам порой трудно освоить математику.

Трудно, хотя и существует множество книг для абитуриентов, многие из которых написаны очень хорошо. Среди этих книг есть замечательные пособия, однако они рассчитаны на определенный уровень математической подготовки и потому доступны не каждому читателю. А где найти учебник математики, понятный каждому школьнику? Я решила, что раз такой книги еще нет, мне пора ее написать.

Моя книга для тех, у кого ЕГЭ по математике — профильный экзамен. Для тех, кто намерен сдать ЕГЭ на 75—100 баллов и поступить в вуз на специальность, связанную с математикой.

В ней я рассказываю все так же, как ученикам на своих занятиях. Объясняю все хитрости, секреты, ключевые моменты — все, что скрыто от поверхностного взгляда. Вводя новые понятия или термины, я обязательно даю их определения. Так же, как и на занятиях, я рассказываю истории и употребляю метафоры, которые собирала много лет. Они помогают лучше запомнить и понять материал.

Все задачи полностью соответствуют программе подготовки к ЕГЭ. Но это не всё.

Чтобы освоить математику на уровне 75-100 баллов ЕГЭ, недостаточно зазубрить приемы решения отдельных задач. Необходимо четкое понимание основ математики и осознанное их применение. Именно поэтому в книге рассказывается о числовых множествах, об элементарных функциях, их графиках и свойствах, о взаимосвязи математических понятий. И поэтому, читая книгу, не пропускайте страницы и главы. Здесь важно все и нет ничего липшего!

Моя книга рассчитана на обычного школьника. Если же вдруг материал показался сложным, значит, надо освоить или повторить более простые темы из курса математики 5—7 классов.

Книга будет также полезна школьным учителям и репетиторам.

Я благодарна своим коллегам, принимавшим участие в работе над книгой, — Диане Ермаковой, Антону Акимову, Ивану Королю. Особо хочу поблагодарить одного из лучших репетиторов России Игоря Вячеславовича Яковлева, чей вклад в создание этой книги поистине неоценим.

Анна Малкова

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ U ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

задачи на проценты

Первая тема, с которой я традиционно начинаю курс подготовки к ЕГЭ по математике, — это задачи на проценты.

Процент — это одна сотая часть.

Например, 1% от 200 — это 2; 7% от 10 равно 0,7.

Очевидно, что 50% — это половина, 25% — это четверть, 20% — это одна пятая часть.

Найти 37% от числа а — это значит умножить число а на 0,37. Получится 0,37а.

В задачах, да и в жизни, часто говорится об изменении какой- либо величины на определенный процент. Что это значит?

Повышение цены на 10% означает, что к прежней цене х прибавили 0,1х. То есть если первоначальная цена равна х, то новая цена составит х + 0,1х = 1,1х. Скидка на 25% означает, что прежняя цена уменьшилась на 25%. И если первоначальная цена былах, то новая цена составит х - 0,25х = 0,75х.

За год население города увеличилось на 1,3 процента. Во сколько раз выросло население города?

Пусть население города — х жителей. За год оно увеличилось на 1,3% и стало равно

х + 0,013х = 1,013х.

Это значит, что население выросло в 1,013 раза.

Запомним важное правило:

за 100% принимается та величина, с которой сравниваем.

Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Цена повышена на 16% по сравнению с чем? — с прежней ценой. Значит, прежняя цена — это 100%, новая цена — 116%.

Получаем, что

116% — 3480 рублей

100% — х рублей.

Во сколько раз 3480 рублей больше, чем х рублей? — Во столько же, во сколько раз 116% больше, чем 100%, то есть

3480116

х “100-

Выразим х из пропорции:

3480 100

х =.

116

Ответ: 3000.

Мобильный телефон стоил 3500 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 2800 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

Мы хотим узнать, на сколько снизилась цена по сравнению с первоначальной, поэтому первоначальную цену принимаем за 100%. Найдем, какой процент новая цена составляет от первоначальной. Обозначим его за х.

Получаем, что

3500 рублей — это 100%, 2800 рублей — это х%.

Составляем пропорцию:

3500 _ 100

2800 х

и решаем ее:

2800 100

х =, х = 80.

3500

Текстовые задачи и теория вероятностей •

Новая цена телефона составляет 80% от первоначальной. Значит, цена была снижена на 20%.

Ответ: 20.

Еще одна задача на проценты. Обратите внимание — она не так проста, как может показаться.

Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Марья Ивановна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марьи Ивановны?

Итак, Марья Ивановна получила 9570 рублей после удержания налога. Значит, 13% заработной платы у нее вычли, а выдали 87%. Дальше все просто: вам нужно составить пропорцию и решить ее.

Ответ: зарплата Марьи Ивановны составляет 11000 рублей.

В городе Nживет 200 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, студенты и т. п.). Сколько взрослых жителей работает?

В чем сложность задачи и почему ее редко решают правильно? Дело в том, что «15 процентов» или «45 процентов» — понятия относительные. Каждый раз за сто процентов могут приниматься разные величины. Помните правило? В каждом случае за сто процентов принимается то, с чем мы сравниваем.

Найдем сначала, сколько в городе взрослых. По условию, дети и подростки составляют 15% от 200 000 жителей. Значит, их чис- 15

ло — это 15% от 200 000, то есть надо умножить на 200 000.

— •200 000 = 30 000.

100

Получим, что в городе Nживет 30 000 детей и подростков. Следовательно, взрослых 170 000. Среди взрослых 45% не работает. Теперь за 100% мы принимаем число взрослых. Получается, что число работающих взрослых жителей равно 55% от 170 000, то есть 93 500.

Ответ: 93 500.

Соберем вместе правила и формулы, которые мы применяем в задачах на проценты.

За 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

Если величину х увеличить на р процентов, получим

I

Если величину х уменьшить на р процентов, получим

Если величину х увеличить на р процентов, а затем уменьшить на qпроцентов, получим ( п S ( г, Л

Если величину х дважды увеличить на р процентов, получим

\

Если величину х дважды уменьшить на р процентов, получим

I К»)

\7

Все эти соотношения выводятся элементарно. Например, если величина х увеличилась на р% — это значит, что к х прибавили р

• х. Вынесем х за скобки:

р хчх =

100

I 10»J

Остальные формулы получаются аналогично. Запомните их. Они пригодятся нам и сейчас, и позже, когда мы будем решать задачи с экономическим содержанием.

Текстовые задачи и теория вероятностей •

В 2008 году в городском квартале проживало 40 000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

По условию, в 2009 году число жителей выросло на 8%, то есть стало равно 40 000 • 1,08 = 43 200 человек.

А в 2010 году число жителей выросло на 9%, теперь уже по сравнению с 2009 годом. Получаем, что в 2010 году в квартале стало проживать 40 000 ■ 1,08 ■ 1,09 = 47 088 жителей.

Ответ: 47 088.

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

На первый взгляд кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но не будем спешить.

Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили х рублей. К вечеру понедельника они подорожали на р% и стали стоить

х • ^1+рублей. Теперь уже эта величина принимается за 100%,

и к вечеру вторника акции подешевели на р°/о по сравнению с этой величиной.

Соберем данные в таблицу:

По условию, акции в итоге подешевели на 4%.

трудно ли сдать егэ по математике на высокие баллы?

Есть экзамены, где для успешной сдачи необходимо выучить колоссальный объем фактического материала. История, химия, биология. В этом отношении математика намного проще!

Меньше зубрежки. Больше понимания. Четкая структура, логичная взаимосвязь разделов. Даже если вы забыли формулу, у вас есть шанс ее вывести.

Здесь важно осознанное выполнение каждого действия. Решая задачу, я задаю себе вопросы: «Что я сейчас делаю? И почему именно так?» Например: «В левой и правой частях этого уравнения находятся функции разных типов, поэтому я применяю метод оценки». Математика понятна, когда вы знаете, что делаете.

Как только смысл действий теряется — начинаются сложности. «Убрать х» (куда убрать-то?). «Избавиться от корня» (как именно избавиться?) Появляются какие-то магические заклинания с туманным смыслом. Изучение точной науки превращается в шаманскую пляску с бубном.

В этой книге «шаманских заклинаний» вы не встретите. Все будет для вас просто и понятно. Если я ввожу новое понятие или

Текстовые задачи и теория вероятностей • действие — обязательно даю определение, объясняю, что оно значит, зачем нужно и как связано с другими темами.

Вы можете заметить, что к некоторым темам я возвращаюсь неоднократно, причем на новом уровне. Почему?

Чтобы хорошо запомнить что-то новое, надо услышать и увидеть это 5-7 раз, а также применить на практике. Изучение новой для вас науки — не линейный процесс, а скорее построение системы ассоциативных связей. Лучший способ запомнить — это сделать. Поэтому в книге я даю список наиболее полезных сайтов для подготовки к ЕГЭ. На них вы найдете задачи для тренировки.

математическая грамотность

Договоримся грамотно называть числа. 2,3 — это две целых три десятых, а вовсе не «две третьих». 0,5 — это ноль целых пять десятых, а не «ноль пятых».

В этой книге даны приемы быстрого счета. Считайте без калькулятора. Всегда. По крайней мере, пока не сдали ЕГЭ. Каждую задачу, которую вы решаете, на контрольной в классе или в домашней работе, рассматривайте как тренировку приемов быстрого счета.

Считаем без ошибок! Чтобы не жаловаться после экзамена, что потеряли баллы из-за ошибок, разберем, откуда ошибки берутся.

Верный путь к потере драгоценных баллов — грязь в вычислениях. Что-то исправлено, что-то зачеркнуто, одна цифра «коря- бается» поверх другой. Взгляните на свои черновики.

Пишите разборчиво. Нам бумаги не жалко. Если что-то неправильно — лучше всю строчку напишите заново, только не исправляйте одно на другое!

Второй источник ошибок — столбик. Почему-то многие, считая в столбик, стараются сделать это

очень быстро,

очень мелкими циферками, в уголке тетради,

карандашом.

Вы что, стесняетесь считать в столбик?! Ну и зря! Все считают в столбик, и я тоже. В этом нет ничего особенного.

Полезно знать, что скобки в выражении ставятся не просто так!

Запись 5 ■ (3 + 100) означает, что число 5 умножается на 3 (будет 15), число 5 умножается на 100 (получается 500), результаты складываются и получается 515.

5 • (3 + 100) = 5 • 3 + 5 • 100 = 15 + 500 = 515.

Если скобки убрать, получится совсем другое число, проверьте, 5-3 + 100 = 115.А многие учащиеся игнорируют скобки в математических выражениях, мол, «для себя пишу».

Больше всего арифметических ошибок связано с дробями. Если

__„а с a d

вы делите дробь на дробь — пользуйтесь тем, что —: — =.

b d be

Помните, что дробную черту всегда можно заменить знаком де- а ления «:»! И никаких многоэтажных дробей!

Ь_

с Видите четырехэтажную дробь? Этот «гамбургер» к мате- dматике отношения не имеет!

Помните, что ответ в первой части ЕГЭ по математике должен быть целым числом или конечной десятичной дробью. Если в заданиях, где ответ надо записывать в клеточки, вы получили л, или , или 2х — ответ неверный.

И главное правило. Оно относится не только к математике!

Фиксируйте для себя любой, даже незначительный, успех. Хвалите себя! Поняли, как работают формулы приведения, — круто! Освоили задачи с экономическим содержанием — победа! Даже так, большими буквами: ПОБЕДА! Знайте, что я, автор этой книги, вместе с вами радуюсь вашим успехам.

текстовые задачи на движение, скорость, время, расстояние

Полезно помнить, что задачи на движение и работу решаются по единому алгоритму. О нем мы подробно расскажем. Но сначала — несколько вопросов по программе младшей школы.

Текстовые задачи и теория вероятностей •

Запишите в виде математического выражения:

хна5 больше у,

х в пять раз больше у;

zна 8 меньше, чем х;

zменьше х в 3,5 раза;

на 1 меньше, чем Г2;

частное от деления а на bв полтора раза больше й;

квадрат суммы хну равен 7;

х составляет 60 процентов от у;

т больше и на 15 процентов.

Пока не напишете — в ответы не подглядывайте!

Иногда выпускник долго думает, как же это «х на 5 больше у». А в школе в этот момент «проходят» первообразные и интегралы. Итак, правильные ответы:

х = у +5.

х больше, чему. Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить большую величину, надо к меньшей прибавить разницу.

х = 5у.

х больше, чему, в пять раз. Значит, если у умножить на 5, получим х.

z = x — 8.

zменьше, чем х. Разница между ними равна 8. Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу.

z = x: 3,5.

^ = f2- 1.

txменьше, чем trЗначит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.

а : b = 1,5Ь.

(х+у)2 = 7.

Напомним, что

сумма — это результат сложения двух или нескольких слагаемых;

разность — это результат вычитания;

произведение — результат умножения двух или нескольких множителей;

частное — результат деления чисел.

х = 0,бу.

Мы говорили, что 60% у =——• у = 0,бу.

т = 1,15л.

Если п принять за 100%, а т на 15 процентов больше, то т = 115%, то есть т = 1,15п.

Чаще всего в вариантах ЕГЭ встречаются задачи на движение.

Два автомобиля едут по дороге, лодка плывет по течению, а затем против течения, велосипедист обгоняет пешехода. Общая формула:

S=v-t,

то есть

расстояние = скорость * время.

$

Из этой формулы можно выразить скорость v = — или время Sf

V

Запомните, что в качестве переменной х удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Внимательно читаем условие. В нем уже все есть. Да и вообще в любом вопросе всегда содержится ответ.

Из пункта Ав пункт В, расстояние между которыми

50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что обозначить за х? Очевидно, скорость велосипедиста — ведь ее и надо найти. Автомобилист проезжает на 40 километров в час больше. Значит, скорость автомобилиста равна х + 40.

Нарисуем таблицу. Сразу внесем в нее расстояние. Из условия задачи известно, что и велосипедист, и автомобилист проехали по 50 км. Можно внести в таблицу скорость — она равна х и х + 40 для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Теперь заполним графу «время».

Содержание

Предисловие3

Текстовые задачи и теория вероятностей на ЕГЭ

Задачи на проценты5

Текстовые задачи на движение. Скорость, время, расстояние14

Текстовые задачи на работу. Два тракториста, два программиста... 26 Задачи на сплавы, смеси и растворы32

Задачи на движение по окружности. Задачи на нахождение средней скорости36

Приемы быстрого счета и принцип KISS40

Геометрия на ЕГЭ по математике. Часть 161

Вычисление площадей фигур61

Основы тригонометрии65

Формулы геометрии и свойства геометрических фигур72

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника77

Четырехугольники82

Задачи по теме «Окружность»92

Векторы на ЕГЭ по математике100

Стереометрия на ЕГЭ по математике. Часть 1 106

Понятие функции. Линейная, квадратичная, дробно-рациональная функция 131

Числовые множества131

Что такое функция?136

Исследование графика функции144

Линейная функция147

Квадратичная функция148

Свойства квадратичной функции и квадратные неравенства152

Обратная пропорциональность. Асимптоты158

Дробно-рациональная функция и метод интервалов160

Корни и степени. Степенная функция 167

Понятие степени167

Степень с натуральным показателем167

Степень с целым показателем167

Арифметический квадратный корень168

Кубический корень170

Корень п-й степени170

Степенная функция175

Иррациональные уравнения179

Задачи с физическим содержанием на тему

«Степенные функции»182

Показательная и логарифмические функции 186

Показательная функция186

Простейшие показательные уравнения190

Логарифмы и их свойства192

Основные логарифмические формулы194

Логарифмическая функция197

Простейшие логарифмические уравнения203

Тригонометрия на ЕГЭ по математике206

Синус, косинус и тангенс произвольного угла206

Тригонометрический круг208

Формулы тригонометрии212

Формулы приведения215

Тригонометрические функции218

Простейшие тригонометрические уравнения227

Линия тангенсов238

Обратные тригонометрические функции и решение уравнений .... 243

Графики обратных тригонометрических функций249

Задачи с физическим содержанием по теме «Тригонометрия»256

Производная функции. Первообразная функции259

Производная функции259

Типовые задачи ЕГЭ на тему «Производная»265

Таблица производных и правила дифференцирования271

Задачи ЕГЭ на применение таблицы производных и правил дифференцирования278

Первообразная283

Уравнения на ЕГЭ по математике. Часть 2287

Модуль числа. Уравнения с модулем287

Показательные уравнения299

Тригонометрические уравнения300

Неравенства на ЕГЭ по математике. Часть 2313

Иррациональные неравенства313

Показательные и логарифмические неравенства318

Метод рационализации325

Стереометрия на ЕГЭ по математике. Часть 2336

Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей... 337 Прямые в пространстве. Пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся прямые338

Параллельность прямой и плоскости339

Угол между прямой и плоскостью. Перпендикулярность прямой и плоскости340

Параллельность плоскостей341

Угол между плоскостями. Перпендикулярность плоскостей343

Угол между скрещивающимися прямыми и расстояние между ними. Расстояние от точки до плоскости и от прямой до параллельной ей плоскости344

Теорема о трех перпендикулярах346

Параллельное проецирование. Площадь проекции фигуры348

Как строить чертежи в задачах по стереометрии352

Задачи по стереометрии356

Векторы в пространстве и метод координат376

Планиметрия на ЕГЭ по математике. Часть 2395

Краткий курс геометрии (задание выполняется самостоятельно) .. 395 Задачи на доказательство397

Задачи по геометрии формата ЕГЭ410

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике422

Элементарные функции и их графики422

Метод оценки432

Преобразование графиков функций435

Не только функции. «Базовые элементы» для решения задач с параметрами448

Построение графиков функций453

Задачи с параметрами формата ЕГЭ по математике457

Задачи с экономическим содержанием на ЕГЭ

по математике481

Простейшие задачи с экономическим содержанием.

Прогрессии481

Две схемы задач о вкладах и погашении кредитов486

Задачи на нахождение наибольших и наименьших

значений функций498

Делимость504

Четность505

Деление с остатком505

Каноническое разложение506

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное507

Взаимно простые числа508

Последовательности509

Метод «оценка плюс пример»510

Учимся решать нестандартные задачи!512

Послесловие530

Справочный материал531

Полезные сайты для подготовки к ЕГЭ532

Учебное издание

Анна Георгиевна Малкова

МАТЕМАТИКА АВТОРСКИЙ КУРС ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ