j
Название книги | Репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов |
Автор | Балаян |
Год публикации | 2021 |
Издательство | Феникс |
Раздел каталога | Учебники и учебные пособия по гуманитарным, естественно- научным, общественным дисциплинам (ID = 144) |
Серия книги | Большая перемена |
ISBN | 978-5-222-33550-5 |
EAN13 | 9785222335505 |
Артикул | 978-5-222-33550-5 |
Количество страниц | 731 |
Тип переплета | цел. |
Формат | 84*108/32 |
Вес, г | 511 |
Посмотрите, пожалуйста, возможно, уже вышло следующее издание этой книги и оно здесь представлено:
Книга написана на основе действующей программы по математике для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Она содержит свыше 4600 задач, из которых 1600 даны с решениями, а остальные предназначены для самостоятельного решения. Каждая глава сопровождается краткими теоретическими сведениями и включает достаточное количество примеров с подробными решениями. Задачи тщательно подобраны по принципу однородности тем, типов, методов решения и разбиты на две группы по уровню сложности. В 13-й главе приводятся нестандартные задачи к ЕГЭ с решениями и для самостоятельного решения, причем значительная часть решена различными способами, что способствует творческой активности учащихся и повышению интереса к изучению математики. Наличие различных идей и методов решения примеров и задач позволяет эффективно подготовиться к олимпиадам различного уровня. Репетитор предназначен школьникам и выпускникам для самостоятельной подготовки к сдаче ЕГЭ и олимпиадам, для успешной сдачи экзамена при поступлении
К сожалению, посмотреть онлайн и прочитать отрывки из этого издания на нашем сайте сейчас невозможно, а также недоступно скачивание и распечка PDF-файл.
Большая переменаЭ.Н. БалаянРЕПЕТИТОР ПО МАТЕМАТИКЕДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ И АБИТУРИЕНТОВ•Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ•Подготовка к олимпиадам•1600 задач с решениями•3000 задач для самостоятельного решенияРостов-на-Дону ?<г)еникс 2021УДК 373.167.1:51ББК 22.1я721КТК444Б20Балаян Э.Н.Б20 Репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов / Э.Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2021. — 731, [1] с. : ил. — (Большая перемена).ISBN 978-5-222-33550-5УДК 373.167.1:51 ISBN 978-5-222-33550-5ББК 22.1я721© Балаян Э.Н., 2020© Оформление: ООО «Феникс», 2020Светлой памяти заслуженного учителя РФ Т.Х. Оганесовой посвящаетсяПРЕДИСЛОВИЕПредлагаемая вниманию читателя книга предназначена для самостоятельного повторения основных тем школьного курса математики. Она поможет школьникам старших классов при подготовке к ОГЭ, ЕГЭ и вступительным экзаменам в высшие учебные заведения.Учитывая то, что уровень подготовки каждого выпускника отличается, автор счел необходимым расположить задания для самостоятельного решения по двум группам — А и Б (за исключением глав 10 и 13). Следует отметить, что задачи группы А по уровню их сложности примерно соответствуют заданиям базового и среднего уровней, поэтому умения решить задачи группы А достаточно для получения положительной оценки на ЕГЭ, но недостаточно для получения более высокой оценки. Задачи группы Б содержат упражнения, направленные на выработку умений и навыков на высоком уровне программных требований. Эти задачи предназначены учащимся, проявляющим повышенный интерес к изучению математики. Упражнения этой группы (особенно главы 13) могут быть использованы учителем на факультативных занятиях, для организации индивидуальной работы на уроках с сильными учениками, а также в работе математического кружка.Наличие в книге задач двух уровней несомненно поможет учителю вести дифференцированное обучение учащихся. Задачи группы Б по сложности примерно соответствуют уровню требований технического вуза.Назначение предлагаемой книги определило и ее структуру. Книга состоит из 13 глав, каждая глава — из нескольких параграфов. Все параграфы построеныв основном по одной и той же схеме. Они содержат необходимый справочный материал, задачи с решениями (всего около 1600), задачи для самостоятельного решения (всего около 3000).Раздел «Справочные материалы» содержит необходимые формулы, рисунки, методические рекомендации и т. д. Этот раздел является своеобразным консультантом по вопросам теории.Глава 11 (Планиметрия) и глава 12 (Стереометрия) содержат основные сведения из геометрии и достаточное количество задач с подробными решениями и для самостоятельного решения.Особо следует отметить 13-ю главу «Нестандартные задачи к ЕГЭ», посвященную уравнениям высших степеней, нелинейным системам алгебраических уравнений, иррациональным уравнениям и системам уравнений, тригонометрическим уравнениям, уравнениям и неравенствам с параметрами.Все задачи этой главы (их около 420) — авторские, составленные в разные годы.Необходимость включения этой главы объясняется тем, что в последние годы на школьных экзаменах, а также на вступительных экзаменах в вузы предлагаются задачи, решаемые не «школьными» методами. Они требуют сообразительности, хорошего владения некоторыми разделами элементарной математики, психологической подготовки и, конечно, высокой логической культуры.Надо отметить, что нет и не может быть универсального метода решения нестандартных задач, основная сложность которых — непривычность. В 13-й главе даются подробные решения различных задач, причем в некоторых случаях приводятся различные способы решения, что способствует творческой активности учащихся и повышению интереса к изучению математики.Автор рекомендует читателю выбирать вначале те упражнения, которые соответствуют его уровню математической подготовки, а затем, по мере приобретения навыков и умений, переходить к более трудным.Последнюю, 13-ю, главу следует изучать на заключительной стадии подготовки к экзаменам.Для удобства пользования и контроля знаний в конце книги приводятся ответы на все задания для самостоятельного решения.Книга может быть использована в работе подготовительных отделений вузов, а также для занятий с репетиторами.Кроме того, наличие большого количества разноуровневых задач, разделенных на типы и методы решений, дает возможность учителям использовать книгу на уроках математики, в работе математических кружков и для подготовки к олимпиадам различных уровней, что особенно актуально в настоящее время.В заключение отметим, что в рамках одной книги невозможно рассмотреть весь спектр задач ввиду их разнообразия, тем более что развитие элементарной математики, математики конкурсного экзамена непрерывно продолжается, и ее копилка пополняется новыми оригинальными идеями.Глава 1ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ§ 1. Выполнение арифметических действийПри решении задач на выполнение арифметических действий следует прежде всего определить порядок действий и обратить внимание на форму представления чисел. Складывать и вычитать десятичные дроби легче, чем обыкновенные, тогда как умножать и делить десятичные дроби, как правило, относительно сложнее, чем обыкновенные дроби.Поэтому важно выбрать подходящее представление чисел, а затем постараться максимально упростить арифметическое выражение.Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух (и более) натуральных чисел надо:1)разложить каждое из данных чисел на простые множители;2)найти произведение простых множителей, входящих в каждое из данных чисел (с наименьшим из показателей, с которыми они встречаются в разложениях).Если НОД чисел равен 1, то такие числа называются взаимно простыми. Например, числа 8 и 15 взаимно простые, так как НОД (8; 15) = 1.Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) двух (и более) натуральных чисел надо:1)разложить каждое из данных чисел на простые множители;2)выписать все множители одного из чисел и дописать все недостающие множители из других чисел,а затем перемножить их (каждый множитель берется с наибольшим показателем из встречающихся в разложениях).Для разложения числа на простые множители надо:а)подобрать наименьшее простое число, на которое делится данное число;б)представить данное число как произведение найденного простого множителя и некоторого натурального числа;в)продолжить вышеуказанные действия для нового натурального числа до тех пор, пока оно не станет равным единице.(515 1Пример 1. Вычислить: 172 —170 —+ 3— :0,8.I6312)Решение1) 172 —-170 —+ 3 — = 172 — -170 — + 3 — = 5—;63121212121224 кИ.Пр,71. 8 _ 71 4 _ 715 _ 355 _ _ 19 ’12’12'1012'512-44848'5,2:Ответ: 7 —.48Пример 2. Вычислить: ( 1 1>3 —+ 2,5 4,6-2 —3 L.J32,5-1— 4,6 + 2 —I 33JРешение1)3 —+ 2,5 = 3 —+ 2 —= 3 —+ 2 —= 5 — ;3326662)2,5-11 = 21-11 = 2^ = 11;323666„^5 , 1 35 7 35-6 35 е6 6 6 6 6-774) 4,6-21 = 4 — 21 = 4 — -2 — = 2 — ;353151515/0,05 + 5,7— 0,125 <775) 4,6 + 2 —= 4 — + 2 — = 6 —31515156)2±:бИ=34:1011515 15 15341515104341041752 57)_ 17 855 — = —;52528)1-0,125 = 1-^1 = 1-1 = 8zZ = ±;77 1000 7 856569)0,05: — = 0,05-56 = 2,8;5610)2,8 + 5,7 = 8,5;11)— -5,2 = 85-0,1 = 8,5; ' 5212)8,5: 8,5 = 1.Ответ: 1.Пример 3. Разложить на простые множители числа: а) 320; б) 825.Решениеа) 3201608040201052222225320 = 26 • 5б) 8252755511135511825 = 3-52 111Пример 4. Найти НОД чисел: а) 12 и 18; б) 280 и 120; в) 120, 144 и 324.Решение223а) 1263Пример 5. Найти НОК чисел: а) 12 и 18; б) 270; 315; 300.Решениеа) 12 = 22 • 3, 18 = 2 • З2.НОК (12; 18) = 22 • З2 = 36.Ответ: 36.§ 2. Преобразование алгебраических выраженийФормулы сокращенного умножения1.(а + Ь)2 = а2 + 2аЪ + Ь2 — квадрат суммы.2.{а - Ь)2 = а2 - 2аЬ + Ь2 — квадрат разности.3.а2 - Ь2 = (а - Ъ) (а + Ь) — разность квадратов.4.(а + b)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + Ь3 = а3 + Ь3 + + ЗаЪ {а + Ь) — куб суммы.5.(а - Ь)3 = а3 - За2Ь + ЗаЪ2 -Ь3 = а3 -Ъ3 -- ЗаЪ (а-Ь) — куб разности.6.а3 + Ь3 = (а + Ъ) (а2 - аЬ + Ь2) — сумма кубов.7.а3 - Ь3 = {а - Ь) (а2 + аЬ + Ь2) — разность кубов.Свойства степеней:Для любых х, уиа>0, Ь> 0 верны равенства:Свойства арифметических корнейПример 6. Разложить на множители:а) а2Ь - 2b + ab2 - 2а;b) 1 - х2 + 2ху - у2;с) аЬ2 - Ь2у - ах + ху + Ь2 - х;d) а6 - Ь6.РешениеСпособ 1a)Применив способ группировки, имеемa2b - 2b + ab2 - 2а = {а2Ь + ab2) - (26 + 2а) == аЪ (а + 6) - 2 (а + Ь) = {а + 6) (аЪ - 2);b)Здесь способ группировки не приводит к цели.1- х2 + 2ху - у2 = 1 - (х2 - 2ху + у2) = 1 - (х - у)2 =-Р-(х -у/- (1- (х -й(1 + (Х-Й)-= (1 - х + у) (1 + х - у);c)Здесь можно сгруппировать сразу по 3 одночлена: ab2 - Ъ2у - ах + ху + Ъ2 - х = (аЪ2 - Ь2у + Ь2) - {ах --ху + х) = Ъ2{а-у + 1) - х{а-у + 1) = (а - г/ +1) (62 -х);d)а6 - Ь6 = (а3)2 - (63)2 = (а3 - 63) (а3 + 63) == (а - 6) (а2 + ab + b2) {а + b) (а2 - аЬ + Ь2).Способ 2а6 -Ьа = (а2)3 - (62)3 = (а2 - 62) (а4 + а2Ь2 + 64).Но а4 + а2Ь2 + Ъ4 = (а4 + 2а2Ь2 + Ь4) - а2Ь2 = (а2 + Ь2)2 --{аЬ)2 = {а,2 + Ь2 - аЬ) {а2 + Ь2 + аЬ) и т. д., как и в способе 1.Пример 7. Упростить выражение:а)„2 , 1.2 Л +0~2 гЛ а —оа-Ь а + Ь ’Ь)х + у(^_ У {х + уГ у у2+164Зу2-24г/ + 48 .С 14У+16 4г/2-64 у2-±у)г/ + 45d)11а Ь + с1 11а Ь + са-Ь-сabcРешениеа2+Ь2 а-Ь а2 +Ъ2-(а-Ъ)(а-Ь) _а2-Ь2 а + Ь(а-6)(а + 6)а2 + Ь2-{а-Ь)2 а2 +Ь2-а2 + 2аЬ-Ь2 _ 2аЬ (а-Ь)(а + Ь)(а-Ь){а + Ь) а2-Ь2 ’J) x X~y x2-(x~y)(x + y)x + yxx(x + y)x — (x — y ) = X — x + y = у .x(x + y)x(x + y)x(x + y)2) Х + У У2 (x + y)y2 = У .у x(x + y) yx(x + y) X ’C)l)—s'S/2 + 164_ =4i/ + 16 4y2 -64 y2-^yУ _ У2+ 16 _4=4(y + 4) 4(z/2-16) y(y-4) z/2(y-4)-t/(j/2 + 16)-16(i/ + 4) =W-16) y3-4y2-i/3-16y-16i/-64-4y2-32y-644z/(z/2-16)”4z/(z/2-16)4(j/2+8f/ + 16) (y + 4)2y + 4 t4y(y2 -16) y(y - 4)(y + 4)y(y - 4) ’2) y + 43,y2-24.y + 48y(y-4)y + 4_ (y + 4)-3(i/2-8y + 16) = _ 3(y-4)2 = y(z/-4)(z/ + 4)!/(y-4)d) 1) 1- a1 b+c-a b + c a(b + c);2)11 _b+c+a.a b + c a(b + c) ’b + c-a b + c + a _(b + c-a)a(b + c) _ b + c-a a(b + c) a(b + c) a(b + c)(b + c + a) b + c + a ’. b2 + c2 -a2 2bc + b2 +c2 - a24) 1+==2bc2bc(b2 +2bc + c2)-a2 _ (b + c)2-a2 _ (b + c-a)(b + c + a) .2&c" 2bc ~2bc’b + c-a (b + c-a)(b + c + a) _ (b + c-a)2 b + c + a2bc2bc. (b + c-a)2 a-b-c (b + c-a,)2 abc _2bc abc2bc-(a-b-c)(a-b-c)2 a a. ,.= -= — (a-b-c).2(a-b-c)2Ответ: a) ^ab ;b) ~',c) -(4-y); d) ^(a-b-c). a -b x у2Пример 8. Сократить дробь:n ах2-ах .5х2-12х + 4.2-5m-2n + 5mnах ’6-15х ’10m2-9т+ 2Решение... ах2-ах ах(х-1)1)= — - = х — 1.ахах2)Разложим квадратный трехчлен на множители по формуле ах2 + Ьх + с = а (х - хг) (х - х2), где хт и х2 —,6±4корни трехчлена. D/4 = 36 - 20 = 16 = 42 > 0, хх 2 =,тогда имеем 5х2 - 12х + 4 == (х - 2) (5х - 2).5х2-12х + 4 = (х-2)(5х-2) = _ (х-2)(5х-2)6-15х"3(2-5х)_3(5х-2)3) Разложим числитель дроби на множители способом группировки: 2 - 5т - 2п + 5тп = (2 - 5т) - - п(2 - 5т) = (2 - 5т) (1 - п).Упростим знаменатель дроби: D = 81 - 80 = 1 > 0, 9±112ш 2 от, „ =, т, = —, т„ = — , тогда имеем 10т2 - 9т +12201225+2ЧЧЬ<2Н>Н> = (2тп-1)(5тп-2).2- 5т - 2п + 5тп _ (2- 5т)(1 -п) _10т2 -9т+ 2(2т-1)(5т-2)_ (5т-2)(п-1) _ п-1~ (2т-1)(5т-2)~ 2т-ГОтвет: 1) х - 1; 2) -(2-х); 3) ——.32тп-1Пример 9. Вычислить:-27-3+о,2-4-25-2+(б4~19) \Решение(3_1)“10 . (33)-3 + (5-1J-4 . (52)-2 + б43/9 = 310.3-9 _|_ + б4 • б-4 + 641/3 = 310-9+ 54_4 + (43)1/3 = 3*+ 5° + 41 = = 3 + 1 + 4 = 8.Ответ: 8.Пример 10. Вычислить:Решение252(V10-2) + 5(Vi0 + 5) _710 + 5 + 710-2(710 + б)(710-2)7-710+21_75/10+21_ 7710 + 21.(710+ б)(710-2) _ 10 + 3-710-10 _3-710 ’7710+217 = 7710 + 21-21 = 7710 = 7 .3-710710 " з7!о " з7!о " з ’3) 3 —= 7.3Ответ: 7.Пример 11. Упростить выражениеРешениеLO) = лА/10-3 .Пример 12. Упростить выражение у19-8\/з .РешениеПонятно, что данное выражение может упроститься, если подкоренное выражение будет представлено в виде квадрата разности двух каких-то чисел. Заметим, что 8л/з = 2 • >/з • 4, т. е. имеем удвоенное произведение двух чисел >/3 и 4, сумма квадратов которых будет равна19, тогда имееми таккак >/3-4<0 , то |>/3-4| = 4-л/з.Ответ: 4-д/з.Пример 13. Освободиться от иррациональности взнаменателе дроби: 1) —=—; 2)Решение1) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю:'-=6+ 2)5-4)•2) Умножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы чисел л/з и 1:Ответ: 1) 6)•Пример 14. Упростить выражение:■ .? : 2)' 2 +1 х2 -1Г aja + bjb y/a + y/b ,+11)х + хРешение1) Заметим, что х3/2 - 1 = (х1/2)3 - 1 = х^ +1( гл 2>/& :(а-&)+—yja+yjb= (х1/2- 1)(х + х1/2 + 1), тогдаух + х2 +1= х-(х^2 -lUx + x^2 +1] = (х1/2+1)(х1/2- 1) = X - 1.х + х/2+1 ' Л'2)Так как ayfa+by/b = (yfa^ + (y/b^ =-(Л + л/&)(а->/а& + &), то, обозначив данное выражение через А, получим(^+^b)(a-^b+b)2^Ъ_a-y/ab+b 2y/b _ a-y/ab+b+2y/b(yja-y/b) _ a—b y/a+y/b(y/a-y/b^(y/a + y/b^a-yfab + b + 2y[ab -2b _ а + y[ab -b _(a-b) + y[ab _а-Ьa-bЗадачи для самостоятельного решения Группа АВыполнить арифметические действия:1А+ЗУ“;2. 1--1—---2-;3.-:-+2---;12 8) 197494462 34. (20,88 : 18 + 45 : 0,36): (19,59 + 11,95);5.6. (-6)°- 81~2 • 273;10.13.15.17.х2-16Зх-12 ’ а-2а-3 ,~2Г’1;(х + 3) . Зх + 9 ' 2х-44211.х3+8.х + 2 ’14.х2-4 ’816.х-25Зх + 55х-25 5х-х2. _ а218.CL + 1 .а + 1X7Упростить иррациональные выражения:19. (2л/12-л/з)2;20.21. (1-Д)’+(1+-7з)'; 22. рЗ-л/б-л/з+Тб) ;23‘ 7+4j3+7-4j3;0,625-6,752-3,252 0,625 .5/3,52+7-2,75+ 2,752ос92215-V7+7+^5 J7+V6’Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:29 -■^ + л/2’27.30.75д/49 ’173^-2>/7 '28.12з->/з’2. 12; 16 и 18;4. 14; 28 и 70;6. 30 и 102;8. 33; 88 и 110.Группа БНайти наибольший общий делитель данных чисел:I.6 и 8;3. 36 и 48;5. 60 и 240;7. 165 и 154;Найти наименьшее общее кратное данных чисел: 9. 18 и 12;II.32; 50 и 192;13. 20 и 42;15. 30; 12 и 15.Упростить выражения„\310. 24; 4 и 144;12. 102 и 30;14. 98; 50 и 12;16.п + 217.и найти их значения: п3 + 4п2 + 4п Зп2 -12п + 12, rY2— при х = 3, у = 0,75, п = 1;при п = -0,5;18. 4х3 - 8х2 + 2х + 3 при х = ^(1 + л/з);19.20.21.2 + ат/2п -пУ У ' т^-т^п1 при а = —;223.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.(a + b + c) 2;а2+4( а чш——т= : -/=+1+— ; а — л/8) ^>/2a72>/&/а + y/b ’1 2( a/a + b/bг-г^Ja + Jb J1! 2а !а, + 5g + 6 CL + 4о + 3 (о +1) +G + 1 G + 3 а -1 а2 + ai у.•• /7/4 *3/1/1/9а4+ а2 а2+19а-25а1 а + 7 + Юа1^а2 + 2а 1/21 )(за^-ба-^2Г 1!л/а + л/а + 1 /а - /а-1а а2 + а +1<а2-1 а3-а2 + а-1 а3 + а2 + а + 1 ( Г~к2y/ab-2b\\lab-abla+:;\va-b97с: 1 +ка2 - а -19X2а3 а4-135.36.37.38.39.а-с а3-с3 (с1 + с Y с(1 + с)-а еа2 + ас + с2 a2b-bc2 t а-с с J (л/а-л/b) + 2а2: л/а + &л/& з4аЬ-ЗЬ .а4а+ь4ьах3 - tfa3x 1 + л/ах4а— 4х4аха-54(а + 1) / 9а6-За а2+4а ^а2-16 а2+4ах^+Зу^ ^-Зу^ 1Z чх-2х^у^ + 1/ Х~Уa + 497bex Ф у, x > 0, у > 0; /-.0,540.41.42.43.х-9. х°’5+3^х + Зл/х+9 х1,5-27 j 4х+11• х. > 0 jc 1 • хл/хч-хч-л/х X -л/х(a-b)2+ab а5 + Ь5 +а2Ъ3 + а3Ъ2 (а + Ъ)2-аЪ (а3+ Ь3+а2& + а&2)(а3(I—Лyjx-aх-а—;^=^= Ч— ;чл/х+а + л/х-а л/х2-а2 -х + а)х > а > 0;44.+^2а-Ь b2-4а2 2a + b)b ф ±2а, а 0;х-1х°’5+12х+х»+1:«“-1 + ^а3-Ь3( а-Ъ-X0'5;4а2 +Ъ<1+4а2-Ь45.9x>0, x/1;46.a3b + 2a2b2 + ab3 ( ab + b‘ a + ja2 -4 а-л/а2 -44 a -л/a2 -4 a + y/a2 -4 ,9a + b3a + ba2 -ab b2 — aa>/a2 -4 | |, л >41148.49.50.х + 2 + л/х2-4 х + 2->/х2-4х + 2-л/х2 -4 х + 2 + л/х2 -4/ 1 1 а2+1 а2-11 I 1а2 -1 а2+1а > 0, а * 1.\-з4а-1Глава 2АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ§ 3. Линейные уравненияУравнение вида ах + Ъ = 0, где а и b — некоторые действительные числа, называется линейным уравнением (или уравнением I степени).1)Если а Ф 0, то линейное уравнение имеет един-Ь ственныи корень х = — .а2)Если а = 0,Ь*0,то уравнение не имеет корней.3)Если а = 0, & = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней, т. е. х е R.Уравнение прямой имеет вид у = ах + Ь.Если прямая проходит через данную точку (х0, у0), то это означает, что координаты точки удовлетворяют уравнению прямой, т. е. имеем у0 = ах0 + Ь.Пример 1. Решить уравнение 2х + 3 = 8.Решение2х = 8 - 3, 2х = 5, х = 5 : 2, х = 2,5.Ответ: х = 2,5.Пример 2. Решить уравнение 5х + 3 (Зх + 7) = 49. РешениеРаскроем скобки, применив распределительное свойство умножения: 5х + 9х + 21 = 49.Приведем подобные члены: 14х + 21 = 49.Перенесем число 21 в правую часть уравнения: 14х = 49 - 21, или 14х = 28, откуда х = 2.Ответ: х = 2.х—42х +1Пример 3. Решить уравнение=5 + —-— .РешениеУмножим обе части уравнения на 12:4(х - 4) = 12 • 5 + 3 (2х + 1).Последовательно раскроем скобки, приведем подобные члены и найдем корень уравнения:4х - 16 = 60 + 6х + 3, 4х - 6х = 60 + 3 + 16,-2х = 79, откуда х = 79 : (-2), х = -39,5. Ответ: х = -39,5.Пример 4. Решить уравнение 5 (х + 4) + 2х = 20 + 7х. Решение5х + 20 + 2х = 20 + 7х, или 7х + 20 = 20 + 7х, откуда 0 • х = 0, т. е. любое число является его решением.Ответ: х е 7?.Пример 5. Решить уравнение 12х - 1 + 3 (х + 2) = 15х. РешениеРаскроем скобки, получим 12х - 1 + Зх + 6 = 15х, или 15х + 5 = 15х.Перенесем слагаемое 15х из правой части полученного уравнения в левую, а слагаемое 5 — в правую, изменив при этом их знаки: 15х — 15х = —5, или 0 • х = —5.В этом случае это уравнение, а значит, и исходное не имеет корней.Ответ: нет корней.х2 16Пример 6. Решить уравнение=.х-4х-4РешениеЗаметим, что х - 40, т. е. х 4, так как на нольделить нельзя.Запишем уравнение в виде —^- = 0, илих-4 х-4——— = 0 . Дробь равна нулю, если числитель дроби х-4равен нулю, а знаменатель х - 40, т. е.х2-16 = 0, Г(х-4)(х + 4) = 0,х-4^0,[х^4.(х - 4) (х + 4) = 0, откуда хх = 4, х2 = -4, и так как х ф 4, то х = -4 — корень исходного уравнения.Ответ.- х = -4.2х2-11Пример 7. Решить уравнениеи —= 2х2.х хРешение2х2-12х21 о 1Так как== 2х —, то данное уравнениеххх хпримет вид 2х-—+ —= 2х2, или 2х = 2х2, х2 - х = О, х хх(х - 1) = О, откуда Xj = 0, х2 = 1. Но х = 0 не является корнем исходного уравнения (на ноль делить нельзя), тогда х = 1 — единственный корень.Ответ: х = 1.Пример 8. Решить уравнение с параметром х - 6 = = 2ах.РешениеЗапишем уравнение в виде х - 2ах = 6, или, вынося общий множитель х за скобки, имеем: х(1-2а) = 6.Если 1 - 2а = 0, т. е. 2а = 1, откуда а - —, то получим 2уравнение х • 0 = 6, которое не имеет корней.16Если 1 - 2а ф 0, т. е. а* -, то х =— единствен-21-2аный корень уравнения.Ответ: при а = уравнение не имеет корней;1 6при а*-, х =.21-2аПример 9. Решить уравнение с параметром(а2 - 9)х = 7а2 - 20а - 3.РешениеЗаметим, что данное уравнение является линейным относительно переменной х и оно имеет смысл при любых а е R.Запишем уравнение в виде (а - 3) (а + 3) х = 7а2 - - 20а - 3.Но 7а2 - 20а - 3 = (7а + 1) (а - 3).Здесь мы использовали известное соотношение ах2 + + Ьх + с = а (х - Xj) (х - х2), где хг и х2 — корни трехчлена. Тогда уравнение примет вид(а - 3) (а + 3) х = (7а + 1) (а - 3).Если а - 3 = 0, т. е. а = 3, то уравнение примет вид 0 • х = 0, тогда его решением будет любое действительное число.Если а + 3 = 0, т. е. а = -3, то получим 0 • х = 120, это уравнение не имеет корней._„7а + 1Если а ф ±3, то х = — единственный кореньа + 3уравнения.Ответ: при а = 3 х е R;при а = -3 корней нет;о 7а + 1при а ±3 х =.а + 3Пример 10. При каком значении параметра а прямая у = ах + 5 проходит через точку М (-3; 2)?РешениеЕсли данная прямая проходит через точку М (-3; 2), то х = -3, у = 2, тогда получим уравнение 2 = -За + 5, или За = 3, откуда а = 1.Ответ: при а = 1.Задачи для самостоятельного решения Группа АРешить уравнения:I. 4х - 5 = 0;2. Зх + 0,4 = 2х + 1,8;3. 6-|х = 0;4. 9х - (х - 5) = 8;5. 11 - 3 (х - 1,5) = 4 - 2х;6. --- = 1;8 5_ 2х-1 2-х х п п к х-1 5-х „7.= —;8. 0,5х+= 2;3124489.х - 3 = 2 (х - 1,5) - х;10.(х - 3) (х + 4) - 2(3х - 2) = (х - 4)2;II.^ + 3 = ^;12. _8__£±1 = ^Ь_А;х-2х-23t-3 t-1 2-2/ 1813.—=—»у-2 у-3 у14.(х + I)2 - 2 (х + 2)2 = 1 + Зх - х2;15.4/ + 33 = 17 + /0,3(х + 1)-0,6(х-5) = —х-2;2114217. ^-^-2,8 = 0,2(5-41/);18. ^ = 7--;54х х7z/ + 22 | Зу-1 .6у + 184г/ + 12 ’g Зх-1 1 _ Зхх + 64 _ 1бх-3 1-4х2 2х + 1 ’х2-7х (7-х)2 х-7 ’„ 2х + 191738.—= 0 ;5х2-5 х2-1 1-хЗх-З 2х + 25(х-1)' 2х2-2 Зх2+6х + 3 _ 12х2-24х + 12 ’10. 2х(Зх-2)-з[1-(2-х)(2х + 3)-^М = 13.Указать, при каких значениях параметра а уравнение не имеет корней.11. ах + 3 = 2х;13.ах-4 Зх-а12. (а2 - 4) х = а2 + а - 6;14.2а-12ах + 3Указать, при каких значениях параметра а уравнения имеют бесконечно много решений.15. (а2 - 1) х = 2а2 + а - 3;16. а2х = 1 + а + х;17. а2х = а (х + 2) - 2;18. 0-1 +- = а;а(х -1) а19.При каком значении параметра а прямая у = ах - 4 проходит через точку Af(-1; 4)?20.При каком значении параметра а уравнение ах + 7 = 19х имеет корень, равный 2?§ 4. Системы линейных уравненийСистема линейных уравнений с двумя переменными имеет вида,х + Ь,у = с,■ 1 1У 1 (1) а2х + у = с2,где ар а2,Ь2, ср с2 — некоторые числа, х и у — переменные.Систему вида (1) можно решать:1)способом подстановки;2)способом сложения;3)графическим способом.Число решений системы уравнений (1) можно определить по коэффициентам при соответствующих переменных X и у,1)Если коэффициенты при х и у не пропорциональны, byт. е. — ф — , то система имеет единственное решение.6^2 \Графически это означает, что прямые пересекаются в точке (х0; г/0) (рис. 1).2)Если —= —, то^2 ^2 ^2 система не имеет решений.В этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений системы (1), параллельны (рис. 2).3)Если ==9 то^2 ^2 ^2 система имеет бесконечное множество решений.Графически это означает, что прямые совпадают (рис. 3).У fРис. 31.Способ подстановкиЭтим способом удобно решать такие системы линейных уравнений с двумя неизвестными, у которых хотя бы один из коэффициентов при х или у равен ±1.Пример 1. Решить систему уравнений:(2х + у = 9,[Зх-2у = 10.РешениеИз первого уравнения системы выразим у через х: у = 9 - 2х. Полученное выражение подставим вместо у во второе уравнение данной системы: Зх - 2 (9 - 2х) = = 10. Как видим, это уравнение содержит одну переменную х. Решим это уравнение: Зх - 18 + 4х = 10, 7х = 10 + 18, 7х = 28, х = 4.Учитывая подстановку, найдем соответствующее значение у: у = 9 - 2 • 4, у = 9 - 8 = 1.Итак, пара (4; 1) — решение системы.Ответ: (4; 1).Пример 2. Решить систему уравнений:('х + у = 1,|4х-3у = 11.РешениеИз первого уравнения системы выразим х через у (можно и наоборот, так как коэффициенты при х и у равны по единице): х = 1 - у, тогда второе уравнение системы примет вид 4(1- у) - 3z/ = ll, или 4 - 4у - -2у= 11, -7 у =11-4, -7 у = 7, у = -1, тогда х = 1 - -(-1), х = 2.Итак, пара чисел (2; -1) — решение исходной системы.Ответ: (2; -1).2.Способ сложенияПример 3. Решить систему уравнений: <{|х-у = 4.РешениеСкладывая и вычитая почленно левые и правые части уравнений системы, получим2х = 8 + 4,|2х = 12, Гх = 6,2у = 8-4,[2у = 4,[у = 2.Пара чисел (6; 2) является решением данной системы уравнений.Ответ: (6; 2).Пример 4. Решить систему уравнений:5х - Зу = 9,2x + 3z/ = 12.РешениеКак видим, в уравнениях данной системы коэффициенты при у — противоположные числа.Поэтому, если мы сложим почленно левые и правые части уравнений, то получим уравнение с одной переменной: 5х + 2х = 9 + 12, или 7х = 21, откуда х = 3. Подставив значение х в одно из уравнений данной системы, например во второе, получим 2 • 3 + Зу = 12, Зу = 6, у = 2.Итак, пара чисел (3; 2) — решение исходной системы.Ответ: (3; 2).Пример 5. Решить систему уравнений: р-+-?2-=3, х-2у Зх + 2у '1240- хх - 2у Зх + 2уРешениеПусть —-— = а , —-— = b, тогда данная система х - 2уЗх + 2ууравнений примет вид(1)18а+ 206 = 3, [12а-406 = 1.Уравняем коэффициенты при Ь, для чего умножим обе части I уравнения системы (1) на 2 и сложим со II уравнением:[16а + 406 = 6,<или 16а + 12а = 7, 28а = 7, откуда[12а-406 = 1,а = —. Значение b найдем из I уравнения системы (1):48 —+ 206 = 3, 2 + 206 = 3, 206 = 1, 6 = — .420Учитывая подстановки, получим равносильную систему уравнений:1 1х-2у 4’[х-2у = 4,или <11[3x + 2z/ = 20.Зх + 2у 20 ’Складывая почленно левые и правые части уравнений системы (2), получим х + Зх = 24, 4х = 24, откуда х = 6, тогда значение у найдем из I уравнения системы (2): 6 - 2у = 4, 2у = 2, откуда у = 1. Итак, пара чисел (6; 2) — решение системы (2), а значит, и исходной системы.Ответ: (6; 2).Пример 6. Решить систему уравнений:2x + y + 3z = 13,Зх + у + z = 8,х + у + г = 6.(2)<<РешениеВычтем из II уравнения системы III:3x + y + z-(x + y + z) = 8-6, или Зх - х = 2, 2х = 2, откуда х = 1.Подставим значение х = 1 в I и III уравнения исходной системы, тогда получим равносильную систему:j 2 + у + 3z — 13, Г у + 3z — 11,[l + y + z = 6,[y + z = 5.Теперь вычтем из I уравнения полученной системы II:у + 3z - {у + z) = 11 - 5, или 2з = 6, z = 3, тогдау = 5- z, у = 5 - 3 = 2.Итак, тройка чисел (1, 2, 3) является решением исходной системы.Ответ: (1; 2; 3)3.Графический способ решения систем уравнений I степениПример 7. Решить графически систему уравнений:х + 2у = 3, 2x-z/ = l.РешениеЧтобы решить графически систему уравнений, выразим в каждом уравнении у через х и составимтаблицу значений. Так как графиком линейного уравнения с двумя неизвестными является прямая линия,то для построения последней достаточно двух точек.У = |(3-х)у = 2х - 1Как видим из рис. 4, прямые пересекаются в точке (1; 1), значит, исходная система имеет единственное решение.Ответ: (1; 1).Пример 8. Решить графически систему уравнений: Г4х + 2г/ = 10, [6x + 3z/ = 15.РешениеКаждое из уравнений системы является линейной функцией.Как видно из рис. 5, граРис. 5фики этих функций совпадают.Каждую точку графика можно рассматривать как общую точку обеих прямых. Это означает, что исходная система уравнений имеет бесконечное множество решений. Выразим х через у (из любого уравнения системы): х = — (5 - у); тогда решением системы будет любая парачисел видаR.Ответ: любая пара чисел вида( 5-шПример 9. Решить графически систему уравнений:х + Зу = 1,3x + 9z/ = 5.РешениеГрафики данной системы уравнений параллельны и не совпадают, т. е.система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут выполняться одновременно (из I уравне- 5ния х + Зу = 1, а из II уравнения — х + Зу = —) (рис. 6).Ответ: нет решений.Пример 10. При каких значениях параметра а система уравнений:х + (а-1)у = а + 3,имеет бесконеч-(а + 2)х + 2ау = 6а + 8.ное множество решений? РешениеИз I уравнения системы выразим х через у:х = - (а - 1) у + а + 3, или х = (1 - а) у + а + 3. Подставим значение х во II уравнение системы: (а + 2) ((1 - а) у + а + 3) + 2ау = 6а + 8, (а + 2) (1 - а) у + 2ау = 6а + 8 - (а + 2) (а + 3), у • (а + 2 - а2 - 2а + 2а) = 6а + 8 - а2 - 5а - 6, у (-а2 + а + 2) = -а2 + а + 2, илиу (а2 - а - 2) = а2 - а - 2,у (а - 2) (а + 1) = (а - 2) (а + 1).(1)Отсюда видим, что при а = 2 и а = -1 уравнение (1) имеет вид 0 • у = 0, что верно при любых значениях у.Ответ: при а = 2 и а = -1.Задачи для самостоятельного решения Группа АРешить системы уравнений:Решить системы уравнений способом подстановки:Решить системы уравнений способом сложения:Г2х + 11г/ = 15,м Г9х-17у = -14,' [10x-lli/ = 9.' [-9х + 15г/ = 12.15 (4х_7^ = 30’16 13х-8у = 28,' [4х-5у = 90.' |11х-8У = 24-17 j40x + 3y = 10,|5х-2у = 1,' [20x-7i/ = 5.' [15x-3i/ = -3.Решить графически системы уравнений:Jx + 5y = 7,j2x + 10y = 13,' [Зх-2у = 4.' [0,4 + 2у = 5.Группа БРешить системы уравнений: 1 Г4(х + 2у)-8 = 5х-2,' [3(2x-z/) + 6 = 24i/ + 12.х+у х-у - + - = -5,86£±У_£ГК = 1О.I 43х-4 _ у + 831у 13х-30з.5.5 ’504.6.19x-y = 2, x2 -xy = 10.««7.2x + у = 3, 4x2-y2 = 15.8.-- — = 8, x у5 4 K1— + — = 51.x у10.1151— 9X у 6 !_!_!x у 0I-,-...X уU+1,81.X у*Пример 4. Решить уравнение2х-л/х-20 (713 + х + б) =24.РешениеЗапишем данное уравнение в виде>/х-20 (л/13 + х + б) = 2(х - 12), где х > 20.Умножим обе части полученного уравнения на л/13 + х- 5:л/х-20 (13 + х - 25) = 2(х - 12)(л/13 + х-б),у/х-20 (х - 12) = 2(х - 12)(>/13 + х -б), откуда (х- 12)(л/х-20-2(713 + х-б]) =0.1) х - 12 = 0, х = 12 — не удовлетворяет, так как х > 20.2) 7х-20 + 10 = 2>/13 + х, илих - 20 + 20 л/х-20 + 100 = 4(13 + х), или 20л/х-20 = Зх - 28, или 400(х - 20) = (Зх - 28)2, 9х2 - 168х + 784 = 400х - 8000, или 9х2 - 568х + 8784 = 0,D/4 = 2842 - 9 • 8784 = 80656 - 79056 = 1600 = 402 > 0,Найденные корни удовлетворяют исходному урав-Пример 5. Решить уравнениеу]х + 8\[х -\1х-8у/х =4л/х2 -64х.Решение Способ 1Заметим, что х = 0 — корень данного уравнения.Пусть х * 0, тогда, возведя обе части исходного уравнения в квадрат, получимх + 8 л/х + х - 8 >/х - 2 л/х2 -64х = 16л/х2 -64х, или2х - 2 5/х2 -64х = 16\/х2-64х, илих - 5/х2 -64х = 85/х2 -64х.Вновь возводим обе части уравнения в квадрат, имеем х2 - 2х 5/х2 -64х + х2 - 64х = 64 5/х2 -64х, х2 - х 5/х2 -64х - 32х = 32 5/х2 -64х, х2 - 32х = (х + 32)л/х2-64х, или 5/х2 -64х х-32х2-64х (х-32)2=, или Т=.хх + 32х2(х + 32)Вычтем по 1 из обеих частей полученного уравнения:х2-64х л (х-32)2 , х2(х + 32)2 ’ИЛИх--64х-х-=(х-32Л(х+32ГX2(х + 32)2—64х(х—32 — х — 32)(х-32 + Х + 32)~1Г='’(х + 32)2-64 2х(х + 32)212хили — =X (х + 32)или2х2 = (х + 32)2, л/2х = ±(х + 32), откуда:1)л/2х = х + 32, (у[2 - 1)х = 32,х =, или х = 32( 5/2 + 1);л/2-12)л/2х = -(х + 32), (V2 + 1)х = -32,32х = —;=— — не удовлетворяет, так как х > О. 5/2+1Таким образом, исходное уравнение имеет 2 корня.Ответ: 0; 32(5/2 + 1).Способ 2Уравнение х2 - 32х = (х + 32)>/х2-64х решим иначе: (х2 - 32х)2 = (х + 32)2(х2 - 64х), или, раскрыв скобки и упростив, получим уравнениех(х2 - 64х - 1024) = 0, откуда хх = 0,х2 - 64х - 1024 = 0, х2 3 =32(1 + >/2).Поскольку х > 0, то х = 32 (1 + >/2).Ответ: 0; 32(1+ >/2).Пример 6. Решить уравнение(х - 1)>/х + л/4-х = 2л/х2-2х + 2.РешениеПопытка решить это уравнение обычным способом, т. е. возведением обеих частей уравнения в квадрат, ни к чему хорошему не приводит.Здесь мы применим идею решения, основанную на применении неравенства Коши-Буняковского, вернее, его частный случай:ага2 + 6^2 < yjaf + &2 • yjaf + &2.Заметим, что знак равенства выполняется в случае коллинеарности векторов (ах, &х) и (а2, &2).В нашем случае левая часть исходного уравнения запишется в виде(х - 1)4х + 1-\/4-х < ^(х-1)2 + 1 • ^/х + (4-х) == 2-^(х-1)2+ 1.Из коллинеарности векторов (х - 1; 1) и (л/х;>/4-х) х-11следует —^= ,(1)yjx л/4-хИз равенства (1) следует, что х > 0, х < 4 и х > 1, т. е. 1 < х < 4, тогда получим (х - 1)л/4-х = л/х , или(х-1)2 (4-х) = х,1<х<4;4х* 2 - 8х - 4 - х3 + 2х2 - х = х, илих3 - 6х2 + 10х -4 = 0.(2)Заметим, что х = 2 — корень уравнения (2), тогда х2(х - 2) - 4х(х - 2) + 2(х - 2) = 0,(х - 2)(х2 - 4х + 2) = 0,откуда хх = 2 или х2 - 4х + 2 = 0, D/4 = 4- 2 = 2>0, х2 3 = 2 ± V2 , х2 = 2 + V2 , х3 = 2 - V2 (не удовлетворяет, так как х > 0).Ответ: 2; 2+^2.Пример 7. Решить уравнение4(х - 1)(2х2 - 4х + 1)у]х(2-х) = 1.РешениеРешение этого уравнения обычным способом, как иррационального с соответствующими преобразованиями, приводит к уравнению 8-й степени, решить которое невероятно сложно, тем более, что неизвестно, являются ли корни (если они существуют) целыми или дробными числами.Учитывая вышеизложенное, очень важно найти идею решения в виде, например, удачной подстановки: х = 1 + cos t, где t е [0; л], тогда получим х - 1 = cos t, 2х2 - 4х + 1 = 2(х - I)2 - 1 = 2 cos2i -1 = = cos 2t,yjx(2-x) = ^/(l + cos t)(2 -1 - cos t) = ^/(l + cos t)(l - cos t) = = a/1-cos2 t = -\/sin21 = |sin t| = sin t, так как, по условию, 0 < t < л и sin t > 0.С учетом этих преобразований получим4 cos t cos 2t sin t = 1, или (2 cos t sin t) • 2 cos 2t = 1, sin 2t • 2 cos 2t = 1, или 2 sin 2t cos 2t = 1, sin 4t = 1,4t = — + 2лп, откуда t = — + — ,n e Z, тогда28 2x = 1 + cos t = 2 cos2 — = 2 cos2 — -12Цб 4Остается найти границы п, учитывая, что 0 < t < л,тогда 0 < — < —, или 0 < —+—< л, 0 < л + 4лп < 16л, 22164115О < 1 + 4п < 16, -1 < 4п < 15, — <п< — , откуда44п = 0, 1, 2, 3.Ответ: 2 cos2 +» где п = 0, 1, 2, 3.Пример 8. Решить уравнение 16х(2х2 + 1)>/х2 + 1 = 3.РешениеДовольно сложное уравнение, решить которое, не зная идеи решения, очень проблематично.Пусть х = tg а, тогда х2 + 1 = tg2 а + 1 = —— >0, cos агде а ел. л^ 2’2J; 2х2 + 1 = 2 tg2a + 1, и данное уравнение примет вид1л16 tg a (2 tg2 a + 1) • = 3, a — + лп, n e Z,cos a216 •sin a 1 cos a cos a2 sin2 a k cos2 a+ 1 =3, или)16sina 2sin2 a+l-sin2 acos2 acos2 a16 sin a(l + sin2 a) = 3(1 - sin2 a)2, или3sin4 a - 16 sin3 a - 6 sin2 a - 16 sin a + 3 = 0, откуда видно, что sin a 0, тогда, разделив обе части полученного уравнения на sin2 а Ф 0, получим1633 sin2 a - 16 sin a - 6 + —5— = 0, илиsin a sin a3| sin2 a+——I —161 sina + —-—6 = 0.(1)sin a)sin a)ОГЛАВЛЕНИЕГлава 1. Тождественные преобразования выражений ..6Формулы сокращенного умножения9Свойства арифметических корней10Задачи для самостоятельного решения16Группа А16Группа Б18Глава 2. Алгебраические уравненияи системы уравнений22Задачи для самостоятельного решения26Группа А26Группа Б261.Способ подстановки292.Способ сложения303.Графический способ решениясистем уравнений I степени32Задачи для самостоятельного решения34Группа А34Группа Б35§ 5. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным. Теорема Виета и ее применение37Примеры решения квадратных уравнений... 391.Неполные квадратные уравнения392.Полные квадратные уравнения413.Уравнения, сводящиеся к квадратным....444.Применение теоремы Виета47Задачи для самостоятельного решения52Группа А52Группа Б52§ 6. Системы нелинейных уравнений54Задачи для самостоятельного решения65Группа А65Группа Б66§ 7. Текстовые задачи691.Задачи на числовые зависимости692.Задачи «на движение» 723.Задачи на «совместную работу»764.Задачи «на сплавы и смеси»795.Задачи «на проценты»816.Задачи «на разбавление»84Задачи для самостоятельного решения86Задачи на составление уравненийI степени86Задачи на составление систем уравненийIстепени87Задачи на составление квадратныхуравнений88Задачи на составление систем уравненийIIстепени90§ 8. Иррациональные уравнения911.Метод возведения обеих частейуравнения в одну и ту же степень922.Метод введения новых переменных943.Искусственные приемы решения99§ 9. Системы иррациональных уравнений103Задачи для самостоятельного решения108Группа А108Группа Б108§ 10. Уравнения с модулем110Задачи для самостоятельного решения114Группа А114Группа Б114Глава 3. Неравенства и системы неравенств116Задачи с решениями116§ 11. Линейные неравенства116Задачи для самостоятельного решения118Группа А118Группа Б118§ 12. Рациональные неравенства1191.Простейшие неравенства, представленныев виде произведения линейных множителей1202.Простейшие неравенства, разлагающиесяна линейные множители1213.Простейшие дробно-рациональныенеравенства без кратных корней1224.Неравенство, содержащее множитель, не принимающий нулевого значенияна числовой прямой1235.Простейшие неравенствас кратными корнями125Задачи для самостоятельного решения126Группа А126Группа Б127§ 13. Системы неравенств129Задачи для самостоятельного решения135Группа А135Группа Б136§ 14. Неравенства с модулем138Задачи для самостоятельного решения145Группа А145Группа Б145§ 15. Иррациональные неравенства146Задачи для самостоятельного решения150Группа А150Группа Б151Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения. Системы показательных и логарифмических уравнений153Задачи с решениями153§ 16. Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений153Свойства степеней154Свойства логарифмов155Задачи для самостоятельного решения162Группа А162Группа Б164§ 17. Показательные уравнения1671.Решение уравнений с использованиемсвойств показательной функции1672.Решение уравнений, сводящихсяк квадратным1683.Решение уравнений вынесениемобщего множителя за скобку1714.Решение показательных уравненийлогарифмированием обеих частей1735.Решение уравнений с использованиемсвойства монотонности показательной функции1746.Решение показательно-степенныхуравнений176Задачи для самостоятельного решения179Группа А179Группа Б179§ 18. Логарифмические уравнения1821.Решение уравнений, основанныхна определении логарифма1822.Решение уравнений потенцированием1853.Применение основногологарифмического тождества1864.Логарифмирование1875.Замена переменной1906.Переход к другому основанию192§ 19. Системы показательныхи логарифмических уравнений195Задачи для самостоятельного решения201Группа А201Группа Б202Глава 5. Показательные и логарифмические неравенства206Задачи с решениями206§ 20. Показательные неравенства206§ 21. Показательно-степенные неравенства212Задачи для самостоятельного решения216Группа А216Группа Б217§ 22. Логарифмические неравенства219§ 23. Показательно-логарифмическиенеравенства235Задачи для самостоятельного решения238Группа А238Группа Б239Глава 6. Тригонометрия242Задачи с решениями242§ 24. Преобразования тригонометрических выражений. Обратные тригонометрические функции242Основные формулы242Задачи для самостоятельного решения260Группа А260Группа Б262§ 25. Тригонометрические уравнения2681.Решение простейшихтригонометрических уравнений2702.Решение уравнений разложениемна множители2723.Решение уравнений, сводящихсяк квадратным2764.Решение однородных и сводящихсяк ним уравнений2785.Решение уравнений с помощью введениявспомогательного аргумента2826.Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функцийв произведение2857.Решение уравнений преобразованиемпроизведения тригонометрических функций в сумму2878.Решение уравнений с применениемформул понижения степени2899.Решение уравнений с применениемформул двойного и тройного аргументов... 29210.Решение уравнений с помощью заменыпеременных29411.Решение уравнений вида /(x) = ^/cp(x) 29612.Решение уравнений с использованиемограниченности функций sin х и cos х298§ 26. Решение систем тригонометрических уравнений301Задачи для самостоятельного решения307Группа А307Группа Б308Глава 7. Производная функция и ее применение312Задачи с решениями312§ 27. Производные элементарных функций.Правила дифференцирования312Таблица производных элементарных и сложных функций312Правила дифференцирования3131.Вычисление пределов3132.Нахождение производных функций3153.Уравнение касательной к графикуфункции3184.Нахождение промежутков монотонностии точек экстремума функции3205.Построение графика функции3256.Нахождение наибольшего и наименьшегозначений функции327Задачи для самостоятельного решения331Группа А331Группа Б334Глава 8. Интеграл338Задачи с решениями338§ 28. Первообразная. Правила нахождения первообразных338Таблица первообразных элементарныхи сложных функций338Правила нахождения первообразных339§ 29. Площадь криволинейной трапеции.Вычисление интегралов342§ 30. Вычисление площадей с помощью интеграла348Задачи для самостоятельного решения355Группа А355Группа Б357Глава 9. Прогрессии361Задачи с решениями361§ 31. Арифметическая прогрессия361§ 32. Геометрическая прогрессия364§ 33. Разные задачи на прогрессию373Задачи для самостоятельного решения376Группа А376Группа Б377Глава 10. Комбинаторика. Бином Ньютона.Элементы теории вероятностей380Задачи с решениями380§ 34. Комбинаторика. Бином Ньютона380§ 35. Элементы теории вероятностей382ГЕОМЕТРИЯ390Глава 11. Планиметрия390Задачи с решениями390Справочные материалы390Решение задач391§ 36. Треугольники393Некоторые дополнительные соотношениямежду элементами треугольника394Решение задач395§ 37. Четырехугольники4211.Многоугольник4212.Произвольный выпуклыйчетырехугольник4223.Вписанный четырехугольник4224.Описанный четырехугольник4225.Параллелограмм4236.Ромб4237.Прямоугольник4238.Квадрат4239.Трапеция423Решение задач424§ 38. Окружность и круг439Решение задач440Задачи для самостоятельного решения452Группа А452Группа Б458Глава 12. Стереометрия469Задачи с решениями469§ 39. Многогранники469Справочные материалы4701.Призма4702.Прямоугольный параллелепипед4703.Куб4714.Пирамида471Дополнительные соотношения между элементами призмы и пирамиды4721.Параллелепипед4732.Призма4763.Пирамида4794.Усеченная пирамида4845.Построение сечений486§ 40. Круглые тела488Справочные материалы4891.Цилиндр4892.Конус4893.Усеченный конус4904.Шар, сфера4905.Части шара4901.Цилиндр4912.Конус4933.Усеченный конус4964.Шар, сфера4975.Вписанные и описанные шары4996.Тела вращения502Задачи для самостоятельного решения504Группа А504Группа Б512Глава 13. Нестандартные задачи к ЕГЭ521Задачи с решениями521§ 41. Алгебраические уравнениявысших степеней521Задачи для самостоятельного решения541§ 42. Нелинейные системыалгебраических уравнений543Задачи для самостоятельного решения574§ 43. Иррациональные алгебраические1.Иррациональные уравнения5752.Иррациональные системы602Задачи для самостоятельного решения613§ 44. Тригонометрические уравнения615Задачи для самостоятельного решения641§ 45. Уравнения и неравенства с параметрами6441.Рациональные уравнения и неравенства.... 6442.Иррациональные уравненияи неравенства655Задачи для самостоятельного решения6643.Тригонометрические уравненияи неравенства666Задачи для самостоятельного решения6744.Показательные и логарифмическиеуравнения и неравенства6751.Показательные и логарифмическиеуравнения6752.Показательные и логарифмическиенеравенства678Задачи для самостоятельного решения681Ответы683Литература720ЕНЕУчебное изданиеБалаян Эдуард НиколаевичРЕПЕТИТОР ПО МАТЕМАТИКЕДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ И АБИТУРИЕНТОВ