j Репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов. Автор Балаян / Купить книгу, доставка почтой, скачать бесплатно, читать онлайн, низкие цены со скидкой, ISBN 978-5-222-33550-5

Внимание! Ближайшая дата отправки заказов в интернет-магазине -
30 мая 2024.
{{common_error}}
СКИДКИ! При заказе книг на сумму от 1500 руб. – скидка 50% от стоимости доставки в пункты выдачи BoxBerry и CDEK,
при заказе книг на сумму от 3000 руб. — скидка 80% от стоимости доставки в пункты выдачи BoxBerry и CDEK.

Репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов. (Балаян)Купить книгу, доставка почтой, скачать бесплатно, читать онлайн, низкие цены со скидкой, ISBN 978-5-222-33550-5

Репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов
Название книги Репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов
Автор Балаян
Год публикации 2021
Издательство Феникс
Раздел каталога Учебники и учебные пособия по гуманитарным, естественно- научным, общественным дисциплинам (ID = 144)
Серия книги Большая перемена
ISBN 978-5-222-33550-5
EAN13 9785222335505
Артикул 978-5-222-33550-5
Количество страниц 731
Тип переплета цел.
Формат 84*108/32
Вес, г 511

Посмотрите, пожалуйста, возможно, уже вышло следующее издание этой книги и оно здесь представлено:

Аннотация к книге "Репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов"
автор Балаян

Книга написана на основе действующей программы по математике для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Она содержит свыше 4600 задач, из которых 1600 даны с решениями, а остальные предназначены для самостоятельного решения. Каждая глава сопровождается краткими теоретическими сведениями и включает достаточное количество примеров с подробными решениями. Задачи тщательно подобраны по принципу однородности тем, типов, методов решения и разбиты на две группы по уровню сложности. В 13-й главе приводятся нестандартные задачи к ЕГЭ с решениями и для самостоятельного решения, причем значительная часть решена различными способами, что способствует творческой активности учащихся и повышению интереса к изучению математики. Наличие различных идей и методов решения примеров и задач позволяет эффективно подготовиться к олимпиадам различного уровня. Репетитор предназначен школьникам и выпускникам для самостоятельной подготовки к сдаче ЕГЭ и олимпиадам, для успешной сдачи экзамена при поступлении

Читать онлайн выдержки из книги "Репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов"
(Автор Балаян)

К сожалению, посмотреть онлайн и прочитать отрывки из этого издания на нашем сайте сейчас невозможно, а также недоступно скачивание и распечка PDF-файл.

До книги"Репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов"
Вы также смотрели...

Другие книги серии "Большая перемена"

Другие книги раздела "Учебники и учебные пособия по гуманитарным, естественно- научным, общественным дисциплинам"

Читать онлайн выдержки из книги "Репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов" (Автор Балаян)

Большая перемена
Э.Н. Балаян
РЕПЕТИТОР ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ И АБИТУРИЕНТОВ
Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к олимпиадам
1600 задач с решениями
3000 задач для самостоятельного решения
Ростов-на-Дону ?<г)еникс 2021
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я721
КТК444
Б20
Балаян Э.Н.
Б20 Репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов / Э.Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2021. — 731, [1] с. : ил. — (Большая перемена).
ISBN 978-5-222-33550-5
УДК 373.167.1:51 ISBN 978-5-222-33550-5ББК 22.1я721
© Балаян Э.Н., 2020
© Оформление: ООО «Феникс», 2020
Светлой памяти заслуженного учителя РФ Т.Х. Оганесовой посвящается
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателя книга предназначена для самостоятельного повторения основных тем школьного курса математики. Она поможет школьникам старших классов при подготовке к ОГЭ, ЕГЭ и вступительным экзаменам в высшие учебные заведения.
Учитывая то, что уровень подготовки каждого выпускника отличается, автор счел необходимым расположить задания для самостоятельного решения по двум группам — А и Б (за исключением глав 10 и 13). Следует отметить, что задачи группы А по уровню их сложности примерно соответствуют заданиям базового и среднего уровней, поэтому умения решить задачи группы А достаточно для получения положительной оценки на ЕГЭ, но недостаточно для получения более высокой оценки. Задачи группы Б содержат упражнения, направленные на выработку умений и навыков на высоком уровне программных требований. Эти задачи предназначены учащимся, проявляющим повышенный интерес к изучению математики. Упражнения этой группы (особенно главы 13) могут быть использованы учителем на факультативных занятиях, для организации индивидуальной работы на уроках с сильными учениками, а также в работе математического кружка.
Наличие в книге задач двух уровней несомненно поможет учителю вести дифференцированное обучение учащихся. Задачи группы Б по сложности примерно соответствуют уровню требований технического вуза.
Назначение предлагаемой книги определило и ее структуру. Книга состоит из 13 глав, каждая глава — из нескольких параграфов. Все параграфы построены
в основном по одной и той же схеме. Они содержат необходимый справочный материал, задачи с решениями (всего около 1600), задачи для самостоятельного решения (всего около 3000).
Раздел «Справочные материалы» содержит необходимые формулы, рисунки, методические рекомендации и т. д. Этот раздел является своеобразным консультантом по вопросам теории.
Глава 11 (Планиметрия) и глава 12 (Стереометрия) содержат основные сведения из геометрии и достаточное количество задач с подробными решениями и для самостоятельного решения.
Особо следует отметить 13-ю главу «Нестандартные задачи к ЕГЭ», посвященную уравнениям высших степеней, нелинейным системам алгебраических уравнений, иррациональным уравнениям и системам уравнений, тригонометрическим уравнениям, уравнениям и неравенствам с параметрами.
Все задачи этой главы (их около 420) — авторские, составленные в разные годы.
Необходимость включения этой главы объясняется тем, что в последние годы на школьных экзаменах, а также на вступительных экзаменах в вузы предлагаются задачи, решаемые не «школьными» методами. Они требуют сообразительности, хорошего владения некоторыми разделами элементарной математики, психологической подготовки и, конечно, высокой логической культуры.
Надо отметить, что нет и не может быть универсального метода решения нестандартных задач, основная сложность которых — непривычность. В 13-й главе даются подробные решения различных задач, причем в некоторых случаях приводятся различные способы решения, что способствует творческой активности учащихся и повышению интереса к изучению математики.
Автор рекомендует читателю выбирать вначале те упражнения, которые соответствуют его уровню мате
матической подготовки, а затем, по мере приобретения навыков и умений, переходить к более трудным.
Последнюю, 13-ю, главу следует изучать на заключительной стадии подготовки к экзаменам.
Для удобства пользования и контроля знаний в конце книги приводятся ответы на все задания для самостоятельного решения.
Книга может быть использована в работе подготовительных отделений вузов, а также для занятий с репетиторами.
Кроме того, наличие большого количества разноуровневых задач, разделенных на типы и методы решений, дает возможность учителям использовать книгу на уроках математики, в работе математических кружков и для подготовки к олимпиадам различных уровней, что особенно актуально в настоящее время.
В заключение отметим, что в рамках одной книги невозможно рассмотреть весь спектр задач ввиду их разнообразия, тем более что развитие элементарной математики, математики конкурсного экзамена непрерывно продолжается, и ее копилка пополняется новыми оригинальными идеями.
Глава 1
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
§ 1. Выполнение арифметических действий
При решении задач на выполнение арифметических действий следует прежде всего определить порядок действий и обратить внимание на форму представления чисел. Складывать и вычитать десятичные дроби легче, чем обыкновенные, тогда как умножать и делить десятичные дроби, как правило, относительно сложнее, чем обыкновенные дроби.
Поэтому важно выбрать подходящее представление чисел, а затем постараться максимально упростить арифметическое выражение.
Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух (и более) натуральных чисел надо:
1)разложить каждое из данных чисел на простые множители;
2)найти произведение простых множителей, входящих в каждое из данных чисел (с наименьшим из показателей, с которыми они встречаются в разложениях).
Если НОД чисел равен 1, то такие числа называются взаимно простыми. Например, числа 8 и 15 взаимно простые, так как НОД (8; 15) = 1.
Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) двух (и более) натуральных чисел надо:
1)разложить каждое из данных чисел на простые множители;
2)выписать все множители одного из чисел и дописать все недостающие множители из других чисел,
а затем перемножить их (каждый множитель берется с наибольшим показателем из встречающихся в разложениях).
Для разложения числа на простые множители надо:
а)подобрать наименьшее простое число, на которое делится данное число;
б)представить данное число как произведение найденного простого множителя и некоторого натурального числа;
в)продолжить вышеуказанные действия для нового натурального числа до тех пор, пока оно не станет равным единице.
(515 1
Пример 1. Вычислить: 172 —170 —+ 3— :0,8.
I6312)
Решение
1) 172 —-170 —+ 3 — = 172 — -170 — + 3 — = 5—;
631212121212
24 кИ.Пр,71. 8 _ 71 4 _ 715 _ 355 _ _ 19 ’12’12'1012'512-44848'
5,2:
Ответ: 7 —.
48
Пример 2. Вычислить: ( 1 1>
3 —+ 2,5 4,6-2 —
3 L.J3
2,5-1— 4,6 + 2 —
I 33J
Решение
1)3 —+ 2,5 = 3 —+ 2 —= 3 —+ 2 —= 5 — ;
332666
2)2,5-11 = 21-11 = 2^ = 11;
323666
„^5 , 1 35 7 35-6 35 е
6 6 6 6 6-77
4) 4,6-21 = 4 — 21 = 4 — -2 — = 2 — ;
353151515
/
0,05 + 5,7
— 0,125 <7
7
5) 4,6 + 2 —= 4 — + 2 — = 6 —
3151515
6)2±:бИ=34:101
1515 15 15
3415
15104
34
104
17
52 5
7)
_ 17 85
5 — = —;
5252
8)1-0,125 = 1-^1 = 1-1 = 8zZ = ±;
77 1000 7 85656
9)0,05: — = 0,05-56 = 2,8;
56
10)2,8 + 5,7 = 8,5;
11)— -5,2 = 85-0,1 = 8,5; ' 52
12)8,5: 8,5 = 1.
Ответ: 1.
Пример 3. Разложить на простые множители числа: а) 320; б) 825.
Решение
а) 320
160
80
40
20
10
5
2
2
2
2
2
2
5
320 = 26 • 5
б) 825
275
55
11
1
3
5
5
11
825 = 3-52 11
1
Пример 4. Найти НОД чисел: а) 12 и 18; б) 280 и 120; в) 120, 144 и 324.
Решение
2
2
3
а) 12
6
3
Пример 5. Найти НОК чисел: а) 12 и 18; б) 270; 315; 300.
Решение
а) 12 = 22 • 3, 18 = 2 • З2.
НОК (12; 18) = 22 • З2 = 36.
Ответ: 36.
§ 2. Преобразование алгебраических выражений
Формулы сокращенного умножения
1.(а + Ь)2 = а2 + 2аЪ + Ь2 — квадрат суммы.
2.{а - Ь)2 = а2 - 2аЬ + Ь2 — квадрат разности.
3.а2 - Ь2 = (а - Ъ) (а + Ь) — разность квадратов.
4.(а + b)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + Ь3 = а3 + Ь3 + + ЗаЪ {а + Ь) — куб суммы.
5.(а - Ь)3 = а3 - За2Ь + ЗаЪ2 -Ь3 = а3 -Ъ3 -
- ЗаЪ (а-Ь) — куб разности.
6.а3 + Ь3 = (а + Ъ) (а2 - аЬ + Ь2) — сумма кубов.
7.а3 - Ь3 = {а - Ь) (а2 + аЬ + Ь2) — разность кубов.
Свойства степеней:
Для любых х, уиа>0, Ь> 0 верны равенства:
Свойства арифметических корней
Пример 6. Разложить на множители:
а) а2Ь - 2b + ab2 - 2а;b) 1 - х2 + 2ху - у2;
с) аЬ2 - Ь2у - ах + ху + Ь2 - х;d) а6 - Ь6.
Решение
Способ 1
a)Применив способ группировки, имеем
a2b - 2b + ab2 - 2а = {а2Ь + ab2) - (26 + 2а) =
= аЪ (а + 6) - 2 (а + Ь) = {а + 6) (аЪ - 2);
b)Здесь способ группировки не приводит к цели.
1- х2 + 2ху - у2 = 1 - (х2 - 2ху + у2) = 1 - (х - у)2 =
-Р-(х -у/- (1- (х -й(1 + (Х-Й)-
= (1 - х + у) (1 + х - у);
c)Здесь можно сгруппировать сразу по 3 одночлена: ab2 - Ъ2у - ах + ху + Ъ2 - х = (аЪ2 - Ь2у + Ь2) - {ах -
-ху + х) = Ъ2{а-у + 1) - х{а-у + 1) = (а - г/ +1) (62 -х);
d)а6 - Ь6 = (а3)2 - (63)2 = (а3 - 63) (а3 + 63) =
= (а - 6) (а2 + ab + b2) {а + b) (а2 - аЬ + Ь2).
Способ 2
а6 -Ьа = (а2)3 - (62)3 = (а2 - 62) (а4 + а2Ь2 + 64).
Но а4 + а2Ь2 + Ъ4 = (а4 + 2а2Ь2 + Ь4) - а2Ь2 = (а2 + Ь2)2 -
-{аЬ)2 = {а,2 + Ь2 - аЬ) {а2 + Ь2 + аЬ) и т. д., как и в способе 1.
Пример 7. Упростить выражение:
а)
„2 , 1.2 Л +0
~2 гЛ а —о
а-Ь а + Ь ’
Ь)х + у(^_ У {х + у
Г у у2+164Зу2-24г/ + 48 .
С 14У+16 4г/2-64 у2-±у)г/ + 45
d)
11
а Ь + с
1 1
1
а Ь + с
а-Ь-с
abc
Решение
а2+Ь2 а-Ь а2 +Ъ2-(а-Ъ)(а-Ь) _
а2-Ь2 а + Ь(а-6)(а + 6)
а2 + Ь2-{а-Ь)2 а2 +Ь2-а2 + 2аЬ-Ь2 _ 2аЬ (а-Ь)(а + Ь)(а-Ь){а + Ь) а2-Ь2 ’
J) x X~y x2-(x~y)(x + y)
x + yxx(x + y)
x — (x — y ) = X — x + y = у .
x(x + y)x(x + y)x(x + y)
2) Х + У У2 (x + y)y2 = У .
у x(x + y) yx(x + y) X ’
C)l)—s'S/2 + 164_ =
4i/ + 16 4y2 -64 y2-^y
У _ У2+ 16 _4=
4(y + 4) 4(z/2-16) y(y-4) z/2(y-4)-t/(j/2 + 16)-16(i/ + 4) =
W-16) y3-4y2-i/3-16y-16i/-64-4y2-32y-64
4z/(z/2-16)4z/(z/2-16)
4(j/2+8f/ + 16) (y + 4)2y + 4 t
4y(y2 -16) y(y - 4)(y + 4)y(y - 4) ’
2) y + 43,y2-24.y + 48
y(y-4)y + 4
_ (y + 4)-3(i/2-8y + 16) = _ 3(y-4)2 = y(z/-4)(z/ + 4)!/(y-4)
d) 1) 1- a
1 b+c-a b + c a(b + c)
;2)
11 _b+c+a.
a b + c a(b + c) ’
b + c-a b + c + a _(b + c-a)a(b + c) _ b + c-a a(b + c) a(b + c) a(b + c)(b + c + a) b + c + a ’
. b2 + c2 -a2 2bc + b2 +c2 - a2
4) 1+==
2bc2bc
(b2 +2bc + c2)-a2 _ (b + c)2-a2 _ (b + c-a)(b + c + a) .
2&c" 2bc ~2bc’
b + c-a (b + c-a)(b + c + a) _ (b + c-a)2 b + c + a2bc2bc
. (b + c-a)2 a-b-c (b + c-a,)2 abc _
2bc abc2bc-(a-b-c)
(a-b-c)2 a a. ,.
= -= — (a-b-c).
2(a-b-c)2
Ответ: a) ^ab ;b) ~',c) -(4-y); d) ^(a-b-c). a -b x у2
Пример 8. Сократить дробь:
n ах2-ах .5х2-12х + 4.2-5m-2n + 5mn
ах ’6-15х ’10m2-9т+ 2
Решение
... ах2-ах ах(х-1)
1)= — - = х — 1.
ахах
2)Разложим квадратный трехчлен на множители по формуле ах2 + Ьх + с = а (х - хг) (х - х2), где хт и х2
,6±4
корни трехчлена. D/4 = 36 - 20 = 16 = 42 > 0, хх 2 =,
тогда имеем 5х2 - 12х + 4 =
= (х - 2) (5х - 2).
5х2-12х + 4 = (х-2)(5х-2) = _ (х-2)(5х-2)
6-15х"3(2-5х)_3(5х-2)
3) Разложим числитель дроби на множители способом группировки: 2 - 5т - 2п + 5тп = (2 - 5т) - - п(2 - 5т) = (2 - 5т) (1 - п).
Упростим знаменатель дроби: D = 81 - 80 = 1 > 0, 9±112ш 2 о
т, „ =, т, = —, т„ = — , тогда имеем 10т2 - 9т +
12201225
+2ЧЧЬ<2Н>Н> = (2тп-1)(5тп-2).
2- 5т - 2п + 5тп _ (2- 5т)(1 -п) _
10т2 -9т+ 2(2т-1)(5т-2)
_ (5т-2)(п-1) _ п-1
~ (2т-1)(5т-2)~ 2т-Г
Ответ: 1) х - 1; 2) -(2-х); 3) ——.
32тп-1
Пример 9. Вычислить:
-27-3+о,2-4-25-2+(б4~19) \
Решение
(3_1)“10 . (33)-3 + (5-1J-4 . (52)-2 + б43/9 = 310.3-9 _|_ + б4 • б-4 + 641/3 = 310-9+ 54_4 + (43)1/3 = 3*+ 5° + 41 = = 3 + 1 + 4 = 8.
Ответ: 8.
Пример 10. Вычислить:
Решение
252(V10-2) + 5(Vi0 + 5) _
710 + 5 + 710-2(710 + б)(710-2)
7-710+21_75/10+21_ 7710 + 21.
(710+ б)(710-2) _ 10 + 3-710-10 _3-710 ’
7710+217 = 7710 + 21-21 = 7710 = 7 .
3-710710 " з7!о " з7!о " з ’
3) 3 —= 7.
3
Ответ: 7.
Пример 11. Упростить выражение
Решение
LO) = лА/10-3 .
Пример 12. Упростить выражение у19-8\/з .
Решение
Понятно, что данное выражение может упроститься, если подкоренное выражение будет представлено в виде квадрата разности двух каких-то чисел. Заметим, что 8л/з = 2 • >/з • 4, т. е. имеем удвоенное произведение двух чисел >/3 и 4, сумма квадратов которых будет равна
19, тогда имеем
и так
как >/3-4<0 , то |>/3-4| = 4-л/з.
Ответ: 4-д/з.
Пример 13. Освободиться от иррациональности в
знаменателе дроби: 1) —=—; 2)
Решение
1) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю:
'-=6
+ 2)5-4
)•
2) Умножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы чисел л/з и 1:
Ответ: 1) 6
)•
Пример 14. Упростить выражение:
■ .? : 2)
' 2 +1 х2 -1
Г aja + bjb y/a + y/b ,
+1
1)
х + х
Решение
1) Заметим, что х3/2 - 1 = (х1/2)3 - 1 = х^ +1
( гл 2>/& :(а-&)+—
yja+yjb
= (х1/2- 1)(х + х1/2 + 1), тогдау
х + х2 +1
= х-(х^2 -lUx + x^2 +1] = (х1/2+1)(х1/2- 1) = X - 1.
х + х/2+1 ' Л'
2)Так как ayfa+by/b = (yfa^ + (y/b^ =
-(Л + л/&)(а->/а& + &), то, обозначив данное выражение через А, получим
(^+^b)(a-^b+b)2^Ъ
_a-y/ab+b 2y/b _ a-y/ab+b+2y/b(yja-y/b) _ a—b y/a+y/b(y/a-y/b^(y/a + y/b^
a-yfab + b + 2y[ab -2b _ а + y[ab -b _(a-b) + y[ab _
а-Ь
a-b
Задачи для самостоятельного решения Группа А
Выполнить арифметические действия:
1
А+ЗУ“;2. 1--1—---2-;3.-:-+2---;
12 8) 197494462 3
4. (20,88 : 18 + 45 : 0,36): (19,59 + 11,95);
5.
6. (-6)°- 81~2 • 273;
10.
13.
15.
17.
х2-16
Зх-12 ’ а-2а-3 ,
~2Г’1;
(х + 3) . Зх + 9 ' 2х-4
42
11.
х3+8.
х + 2 ’
14.
х2-4 ’
8
16.
х-25
Зх + 5
5х-25 5х-х2
. _ а2
18.CL + 1 .
а + 1
X
7
Упростить иррациональные выражения:
19. (2л/12-л/з)2;20.
21. (1-Д)’+(1+-7з)'; 22. рЗ-л/б-л/з+Тб) ;
237+4j3+7-4j3;
0,625-6,752-3,252 0,625 .
5/3,52+7-2,75+ 2,752
ос9221
5-V7+7+^5 J7+V6’
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
29 -
^ + л/2’
27.
30.
7
5д/49 ’
17
3^-2>/7 '
28.
12
з->/з’
2. 12; 16 и 18;
4. 14; 28 и 70;
6. 30 и 102;
8. 33; 88 и 110.
Группа Б
Найти наибольший общий делитель данных чисел:
I.6 и 8;
3. 36 и 48;
5. 60 и 240;
7. 165 и 154;
Найти наименьшее общее кратное данных чисел: 9. 18 и 12;
II.32; 50 и 192;
13. 20 и 42;
15. 30; 12 и 15.
Упростить выражения
„\3
10. 24; 4 и 144;
12. 102 и 30;
14. 98; 50 и 12;
16.
п + 2
17.
и найти их значения: п3 + 4п2 + 4п Зп2 -12п + 12, rY2
— при х = 3, у = 0,75, п = 1;
при п = -0,5;
18. 3 - 8х2 + 2х + 3 при х = ^(1 + л/з);
19.
20.
21.
2 + а
т/2п -п
У У ' т^-т^п
1 при а = —;
2
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
(a + b + c) 2;
а2+4( а чш
——т= : -/=+1+— ; а — л/8) ^>/2
a
7
2>/&
/а + y/b ’
1 2
( a/a + b/bг-г^
Ja + Jb J
1! !
а, + 5g + 6 CL + 4о + 3 (о +1) +G + 1 G + 3 а -1 а2 + ai у.
• /7/4 *
3/1/1/9
а4+ а2 а2+1
9а-25а1 а + 7 + Юа1^
а2 + 2а 1/2
1 )
(за^-ба-^2
Г 1!
л/а + л/а + 1 /а - /а-1
а а2 + а +1<
а2-1 а3-а2 + а-1 а3 + а2 + а + 1 ( Г~к2y/ab-2b
\\lab-abla+:;
\va-b
9
7
с
: 1 +
к
а2 - а -1
9
X
3 а4-1
35.
36.
37.
38.
39.
а-с а3-с3 (с1 + с Y с(1 + с)-а е
а2 + ас + с2 a2b-bc2 t а-с с J (л/а-л/b) + 2а2: л/а + &л/& з4аЬ-ЗЬ .
а4а+ь4ь
ах3 - tfa3x 1 + л/ах
4а— 4х4ах
а-54(а + 1) /
6-За а2+4а ^а2-16 а2+4а
х^+Зу^ ^-Зу^ 1Z чх-2х^у^ + 1/ Х~У
a + 4
9
7
be
x Ф у, x > 0, у > 0; /
-.0,5
40.
41.
42.
43.
х-9. х°’5+3
^х + Зл/х+9 х1,5-27 j 4х+11
• х. > 0 jc 1 • хл/хч-хч-л/х X -л/х
(a-b)2+ab а5 + Ь5 +а2Ъ3 + а3Ъ2 (а + Ъ)2-аЪ (а3+ Ь32& + а&2)(а3
(I—Л
yjx-aх-а
—;^=^= Ч— ;
чл/х+а + л/х-а л/х22 -х + а)
х > а > 0;
44.+
^2а-Ь b2-4а2 2a + b)
b ф ±2а, а 0;
х-1х°’5+12
х+х»+1:«“-1 + ^
а3-Ь3( а-Ъ
-X0'5;
4а2
<1+4а2-Ь
45.
9
x>0, x/1;
46.
a3b + 2a2b2 + ab3 ( ab + b‘ a + ja2 -4 а-л/а2 -4
4 a -л/a2 -4 a + y/a2 -4 ,
9
a + b3a + b
a2 -ab b2 — a
a>/a2 -4 | |
, л >
411
48.
49.
50.
х + 2 + л/х2-4 х + 2->/х2-4
х + 2-л/х2 -4 х + 2 + л/х2 -4
/ 1 1 а2+1 а2-1
1 I 1
а2 -1 а2+1
а > 0, а * 1.
\-з
4
а-1
Глава 2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
§ 3. Линейные уравнения
Уравнение вида ах + Ъ = 0, где а и b — некоторые действительные числа, называется линейным уравнением (или уравнением I степени).
1)Если а Ф 0, то линейное уравнение имеет един-
Ь ственныи корень х = — .
а
2)Если а = 0,Ь*0,то уравнение не имеет корней.
3)Если а = 0, & = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней, т. е. х е R.
Уравнение прямой имеет вид у = ах + Ь.
Если прямая проходит через данную точку (х0, у0), то это означает, что координаты точки удовлетворяют уравнению прямой, т. е. имеем у0 = ах0 + Ь.
Пример 1. Решить уравнение 2х + 3 = 8.
Решение
2х = 8 - 3, 2х = 5, х = 5 : 2, х = 2,5.
Ответ: х = 2,5.
Пример 2. Решить уравнение 5х + 3 (Зх + 7) = 49. Решение
Раскроем скобки, применив распределительное свойство умножения: 5х + 9х + 21 = 49.
Приведем подобные члены: 14х + 21 = 49.
Перенесем число 21 в правую часть уравнения: 14х = 49 - 21, или 14х = 28, откуда х = 2.
Ответ: х = 2.
х—42х +1
Пример 3. Решить уравнение=5 + —-— .
Решение
Умножим обе части уравнения на 12:
4(х - 4) = 12 • 5 + 3 (2х + 1).
Последовательно раскроем скобки, приведем подобные члены и найдем корень уравнения:
4х - 16 = 60 + 6х + 3, 4х - 6х = 60 + 3 + 16,
-2х = 79, откуда х = 79 : (-2), х = -39,5. Ответ: х = -39,5.
Пример 4. Решить уравнение 5 (х + 4) + 2х = 20 + 7х. Решение
5х + 20 + 2х = 20 + 7х, или 7х + 20 = 20 + 7х, откуда 0 • х = 0, т. е. любое число является его решением.
Ответ: х е 7?.
Пример 5. Решить уравнение 12х - 1 + 3 (х + 2) = 15х. Решение
Раскроем скобки, получим 12х - 1 + Зх + 6 = 15х, или 15х + 5 = 15х.
Перенесем слагаемое 15х из правой части полученного уравнения в левую, а слагаемое 5 — в правую, изменив при этом их знаки: 15х — 15х = —5, или 0 • х = —5.
В этом случае это уравнение, а значит, и исходное не имеет корней.
Ответ: нет корней.
х2 16
Пример 6. Решить уравнение=.
х-4х-4
Решение
Заметим, что х - 40, т. е. х 4, так как на ноль
делить нельзя.
Запишем уравнение в виде —^- = 0, или
х-4 х-4
——— = 0 . Дробь равна нулю, если числитель дроби х-4
равен нулю, а знаменатель х - 40, т. е.
х2-16 = 0, Г(х-4)(х + 4) = 0,
х-4^0,[х^4.
(х - 4) (х + 4) = 0, откуда хх = 4, х2 = -4, и так как х ф 4, то х = -4 — корень исходного уравнения.
Ответ.- х = -4.
2-11
Пример 7. Решить уравнениеи —= 2х2.
х х
Решение
2-121 о 1
Так как== 2х —, то данное уравнение
ххх х
примет вид 2х-—+ —= 2х2, или 2х = 2х2, х2 - х = О, х х
х(х - 1) = О, откуда Xj = 0, х2 = 1. Но х = 0 не является корнем исходного уравнения (на ноль делить нельзя), тогда х = 1 — единственный корень.
Ответ: х = 1.
Пример 8. Решить уравнение с параметром х - 6 = = 2ах.
Решение
Запишем уравнение в виде х - 2ах = 6, или, вынося общий множитель х за скобки, имеем: х(1-2а) = 6.
Если 1 - 2а = 0, т. е. 2а = 1, откуда а - —, то получим 2
уравнение х • 0 = 6, которое не имеет корней.
16
Если 1 - 2а ф 0, т. е. а* -, то х =— единствен-
21-2а
ный корень уравнения.
Ответ: при а = уравнение не имеет корней;
1 6
при а*-, х =.
21-2а
Пример 9. Решить уравнение с параметром
2 - 9)х = 7а2 - 20а - 3.
Решение
Заметим, что данное уравнение является линейным относительно переменной х и оно имеет смысл при любых а е R.
Запишем уравнение в виде (а - 3) (а + 3) х = 7а2 - - 20а - 3.
Но 7а2 - 20а - 3 = (7а + 1) (а - 3).
Здесь мы использовали известное соотношение ах2 + + Ьх + с = а (х - Xj) (х - х2), где хг и х2 — корни трехчлена. Тогда уравнение примет вид
(а - 3) (а + 3) х = (7а + 1) (а - 3).
Если а - 3 = 0, т. е. а = 3, то уравнение примет вид 0 • х = 0, тогда его решением будет любое действительное число.
Если а + 3 = 0, т. е. а = -3, то получим 0 • х = 120, это уравнение не имеет корней.
_„7а + 1
Если а ф ±3, то х = — единственный корень
а + 3
уравнения.
Ответ: при а = 3 х е R;
при а = -3 корней нет;
о 7а + 1
при а ±3 х =.
а + 3
Пример 10. При каком значении параметра а прямая у = ах + 5 проходит через точку М (-3; 2)?
Решение
Если данная прямая проходит через точку М (-3; 2), то х = -3, у = 2, тогда получим уравнение 2 = -За + 5, или За = 3, откуда а = 1.
Ответ: при а = 1.
Задачи для самостоятельного решения Группа А
Решить уравнения:
I. 4х - 5 = 0;2. Зх + 0,4 = 2х + 1,8;
3. 6-|х = 0;4. 9х - (х - 5) = 8;
5. 11 - 3 (х - 1,5) = 4 - 2х;6. --- = 1;
8 5
_ 2х-1 2-х х п п к х-1 5-х „
7.= —;8. 0,5х+= 2;
312448
9.х - 3 = 2 (х - 1,5) - х;
10.(х - 3) (х + 4) - 2(3х - 2) = (х - 4)2;
II.^ + 3 = ^;12. _8__£±1 = ^Ь_А;
х-2х-23t-3 t-1 2-2/ 18
13.—=—»
у-2 у-3 у
14.(х + I)2 - 2 (х + 2)2 = 1 + Зх - х2;
15.4/ + 33 = 17 + /0,3(х + 1)-0,6(х-5) = —х-2;
21142
17. ^-^-2,8 = 0,2(5-41/);18. ^ = 7--;
54х х
7z/ + 22 | Зу-1 .
6у + 184г/ + 12 ’
g Зх-1 1 _ Зхх + 64 _ 1
бх-3 1-4х2 2х + 1 ’х2-7х (7-х)2 х-7 ’
„ 2х + 19173
8.—= 0 ;
2-5 х2-1 1-х
Зх-З 2х + 25(х-1)
' 2х2-2 Зх2+6х + 3 _ 12х2-24х + 12 ’
10. 2х(Зх-2)-з[1-(2-х)(2х + 3)-^М = 13.
Указать, при каких значениях параметра а уравне
ние не имеет корней.
11. ах + 3 = 2х;
13.
ах-4 Зх-а
12. (а2 - 4) х = а2 + а - 6;
14.
2а-1
2ах + 3
Указать, при каких значениях параметра а уравнения имеют бесконечно много решений.
15. 2 - 1) х = 2а2 + а - 3;16. а2х = 1 + а + х;
17. а2х = а (х + 2) - 2;18. 0-1 +- = а;
а(х -1) а
19.При каком значении параметра а прямая у = ах - 4 проходит через точку Af(-1; 4)?
20.При каком значении параметра а уравнение ах + 7 = 19х имеет корень, равный 2?
§ 4. Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений с двумя переменными имеет вид
а,х + Ь,у = с,
1 1У 1 (1) а2х + у = с2,
где ар а2,Ь2, ср с2 — некоторые числа, х и у — пе
ременные.
Систему вида (1) можно решать:
1)способом подстановки;
2)способом сложения;
3)графическим способом.
Число решений системы уравнений (1) можно определить по коэффициентам при соответствующих переменных X и у,
1)Если коэффициенты при х и у не пропорциональны, by
т. е. — ф — , то система имеет единственное решение.
6^2 \
Графически это означает, что прямые пересекаются в точке (х0; г/0) (рис. 1).
2)Если —= —, то
^2 ^2 ^2 система не имеет решений.
В этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений системы (1), параллельны (рис. 2).
3)Если ==9 то
^2 ^2 ^2 система имеет бесконечное множество решений.
Графически это означает, что прямые совпадают (рис. 3).
У f
Рис. 3
1.Способ подстановки
Этим способом удобно решать такие системы линейных уравнений с двумя неизвестными, у которых хотя бы один из коэффициентов при х или у равен ±1.
Пример 1. Решить систему уравнений:
(2х + у = 9,
[Зх-2у = 10.
Решение
Из первого уравнения системы выразим у через х: у = 9 - 2х. Полученное выражение подставим вместо у во второе уравнение данной системы: Зх - 2 (9 - 2х) = = 10. Как видим, это уравнение содержит одну переменную х. Решим это уравнение: Зх - 18 + 4х = 10, 7х = 10 + 18, 7х = 28, х = 4.
Учитывая подстановку, найдем соответствующее значение у: у = 9 - 2 • 4, у = 9 - 8 = 1.
Итак, пара (4; 1) — решение системы.
Ответ: (4; 1).
Пример 2. Решить систему уравнений:
('х + у = 1,
|4х-3у = 11.
Решение
Из первого уравнения системы выразим х через у (можно и наоборот, так как коэффициенты при х и у равны по единице): х = 1 - у, тогда второе уравнение системы примет вид 4(1- у) - 3z/ = ll, или 4 - 4у - -2у= 11, -7 у =11-4, -7 у = 7, у = -1, тогда х = 1 - -(-1), х = 2.
Итак, пара чисел (2; -1) — решение исходной системы.
Ответ: (2; -1).
2.Способ сложения
Пример 3. Решить систему уравнений: <{
|х-у = 4.
Решение
Складывая и вычитая почленно левые и правые части уравнений системы, получим
2х = 8 + 4,|2х = 12, Гх = 6,
2у = 8-4,[2у = 4,[у = 2.
Пара чисел (6; 2) является решением данной системы уравнений.
Ответ: (6; 2).
Пример 4. Решить систему уравнений:
5х - Зу = 9,
2x + 3z/ = 12.
Решение
Как видим, в уравнениях данной системы коэффициенты при у — противоположные числа.
Поэтому, если мы сложим почленно левые и правые части уравнений, то получим уравнение с одной переменной: 5х + 2х = 9 + 12, или 7х = 21, откуда х = 3. Подставив значение х в одно из уравнений данной системы, например во второе, получим 2 • 3 + Зу = 12, Зу = 6, у = 2.
Итак, пара чисел (3; 2) — решение исходной системы.
Ответ: (3; 2).
Пример 5. Решить систему уравнений: р-+-?2-=3, х-2у Зх + 2у '1240- х
х - 2у Зх + 2у
Решение
Пусть —-— = а , —-— = b, тогда данная система х - 2уЗх + 2у
уравнений примет вид
(1)
18а+ 206 = 3, [12а-406 = 1.
Уравняем коэффициенты при Ь, для чего умножим обе части I уравнения системы (1) на 2 и сложим со II уравнением:
[16а + 406 = 6,
<или 16а + 12а = 7, 28а = 7, откуда
[12а-406 = 1,
а = —. Значение b найдем из I уравнения системы (1):
4
8 —+ 206 = 3, 2 + 206 = 3, 206 = 1, 6 = — .
420
Учитывая подстановки, получим равносильную систему уравнений:
1 1
х-2у 4’[х-2у = 4,
или <
11[3x + 2z/ = 20.
Зх + 2у 20 ’
Складывая почленно левые и правые части уравнений системы (2), получим х + Зх = 24, 4х = 24, откуда х = 6, тогда значение у найдем из I уравнения системы (2): 6 - 2у = 4, 2у = 2, откуда у = 1. Итак, пара чисел (6; 2) — решение системы (2), а значит, и исходной системы.
Ответ: (6; 2).
Пример 6. Решить систему уравнений:
2x + y + 3z = 13,
Зх + у + z = 8,
х + у + г = 6.
(2)
<
<
Решение
Вычтем из II уравнения системы III:
3x + y + z-(x + y + z) = 8-6, или Зх - х = 2, 2х = 2, откуда х = 1.
Подставим значение х = 1 в I и III уравнения исходной системы, тогда получим равносильную систему:
j 2 + у + 3z — 13, Г у + 3z — 11,
[l + y + z = 6,[y + z = 5.
Теперь вычтем из I уравнения полученной системы II:
у + 3z - {у + z) = 11 - 5, или 2з = 6, z = 3, тогда
у = 5- z, у = 5 - 3 = 2.
Итак, тройка чисел (1, 2, 3) является решением исходной системы.
Ответ: (1; 2; 3)
3.Графический способ решения систем уравнений I степени
Пример 7. Решить графически систему уравнений:
х + 2у = 3, 2x-z/ = l.
Решение
Чтобы решить графически систему уравнений, выразим в каждом уравне
нии у через х и составим
таблицу значений. Так как графиком линейного урав
нения с двумя неизвестными является прямая линия,
то для построения последней достаточно двух точек.
У = |(3-х)
у = 2х - 1
Как видим из рис. 4, прямые пересекаются в точке (1; 1), значит, исходная система имеет единственное решение.
Ответ: (1; 1).
Пример 8. Решить графически систему уравнений: Г4х + 2г/ = 10, [6x + 3z/ = 15.
Решение
Каждое из уравнений системы является линейной функцией.
Как видно из рис. 5, гра
Рис. 5
фики этих функций совпадают.
Каждую точку графика можно рассматривать как общую точку обеих прямых. Это означает, что исходная система уравнений имеет бесконечное множество решений. Выразим х через у (из любого уравнения системы): х = — (5 - у); тогда решением системы будет любая пара
чисел вида
R.
Ответ: любая пара чисел вида
( 5-ш
Пример 9. Решить графически систему уравнений:
х + Зу = 1,
3x + 9z/ = 5.
Решение
Графики данной системы уравнений параллельны и не совпадают, т. е.
система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут выполняться одновременно (из I уравне- 5
ния х + Зу = 1, а из II уравнения — х + Зу = —) (рис. 6).
Ответ: нет решений.
Пример 10. При каких значениях параметра а сис
тема уравнений:
х + (а-1)у = а + 3,
имеет бесконеч-
(а + 2)х + 2ау = 6а + 8.
ное множество решений? Решение
Из I уравнения системы выразим х через у:
х = - (а - 1) у + а + 3, или х = (1 - а) у + а + 3. Подставим значение х во II уравнение системы: (а + 2) ((1 - а) у + а + 3) + 2ау = 6а + 8, (а + 2) (1 - а) у + 2ау = 6а + 8 - (а + 2) (а + 3), у • (а + 2 - а2 - 2а + 2а) = 6а + 8 - а2 - 5а - 6, у (-а2 + а + 2) = -а2 + а + 2, или
у (а2 - а - 2) = а2 - а - 2,
у (а - 2) (а + 1) = (а - 2) (а + 1).(1)
Отсюда видим, что при а = 2 и а = -1 уравнение (1) имеет вид 0 • у = 0, что верно при любых значениях у.
Ответ: при а = 2 и а = -1.
Задачи для самостоятельного решения Группа А
Решить системы уравнений:
Решить системы уравнений способом подстановки:
Решить системы уравнений способом сложения:
Г2х + 11г/ = 15,м Г9х-17у = -14,
' [10x-lli/ = 9.' [-9х + 15г/ = 12.
15 (4х_7^ = 3016 13х-8у = 28,
' [4х-5у = 90.' |1-8У = 24-
17 j40x + 3y = 10,|5х-2у = 1,
' [20x-7i/ = 5.' [15x-3i/ = -3.
Решить графически системы уравнений:
Jx + 5y = 7,j2x + 10y = 13,
' [Зх-2у = 4.' [0,4 + 2у = 5.
Группа Б
Решить системы уравнений: 1 Г4(х + 2у)-8 = 5х-2,
' [3(2x-z/) + 6 = 24i/ + 12.
х+у х-у - + - = -5,
86
£±У_£ГК = 1О.
I 43
х-4 _ у + 8
3
1
у 13х-30
з.
5.
5 ’
50
4.
6.
19
x-y = 2, x2 -xy = 10.
«
«
7.
2x + у = 3, 4x2-y2 = 15.
8.
-- — = 8, x у
5 4 K1
— + — = 51.
x у
10.
115
19
X у 6 !_!_!
x у 0
I-,-...
X у
U+1,81.
X у
*
Пример 4. Решить уравнение
2х-л/х-20 (713 + х + б) =24.
Решение
Запишем данное уравнение в виде
>/х-20 (л/13 + х + б) = 2(х - 12), где х > 20.
Умножим обе части полученного уравнения на л/13 + х- 5:
л/х-20 (13 + х - 25) = 2(х - 12)(л/13 + х-б),
у/х-20 (х - 12) = 2(х - 12)(>/13 + х -б), откуда (х- 12)(л/х-20-2(713 + х-б]) =0.
1) х - 12 = 0, х = 12 — не удовлетворяет, так как х > 20.
2) 7х-20 + 10 = 2>/13 + х, или
х - 20 + 20 л/х-20 + 100 = 4(13 + х), или 20л/х-20 = Зх - 28, или 400(х - 20) = (Зх - 28)2, 9х2 - 168х + 784 = 400х - 8000, или 9х2 - 568х + 8784 = 0,
D/4 = 2842 - 9 • 8784 = 80656 - 79056 = 1600 = 402 > 0,
Найденные корни удовлетворяют исходному урав-
Пример 5. Решить уравнение
у]х + 8\[х -\1х-8у/х =4л/х2 -64х.
Решение Способ 1
Заметим, что х = 0 — корень данного уравнения.
Пусть х * 0, тогда, возведя обе части исходного уравнения в квадрат, получим
х + 8 л/х + х - 8 >/х - 2 л/х2 -64х = 16л/х2 -64х, или
2х - 2 5/х2 -64х = 16\/х2-64х, или
х - 5/х2 -64х = 85/х2 -64х.
Вновь возводим обе части уравнения в квадрат, имеем х2 - 2х 5/х2 -64х + х2 - 64х = 64 5/х2 -64х, х2 - х 5/х2 -64х - 32х = 32 5/х2 -64х, х2 - 32х = (х + 32)л/х2-64х, или 5/х2 -64х х-32х2-64х (х-32)2
=, или Т=.
хх + 32х2(х + 32)
Вычтем по 1 из обеих частей полученного уравне
ния:
х2-64х л (х-32)2 , х2(х + 32)2ИЛИ
х--64х-х-=(х-32Л(х+32Г
X2(х + 32)2
—64х(х—32 — х — 32)(х-32 + Х + 32)
~1Г='’
(х + 32)2
-64 2х
(х + 32)2
12х
или — =
X (х + 32)
или
2 = (х + 32)2, л/2х = ±(х + 32), откуда:
1)л/2х = х + 32, (у[2 - 1)х = 32,
х =, или х = 32( 5/2 + 1);
л/2-1
2)л/2х = -(х + 32), (V2 + 1)х = -32,
32
х = —;=— — не удовлетворяет, так как х > О. 5/2+1
Таким образом, исходное уравнение имеет 2 корня.
Ответ: 0; 32(5/2 + 1).
Способ 2
Уравнение х2 - 32х = (х + 32)>/х2-64х решим иначе: (х2 - 32х)2 = (х + 32)22 - 64х), или, раскрыв скобки и упростив, получим уравнение
х(х2 - 64х - 1024) = 0, откуда хх = 0,
х2 - 64х - 1024 = 0, х2 3 =32(1 + >/2).
Поскольку х > 0, то х = 32 (1 + >/2).
Ответ: 0; 32(1+ >/2).
Пример 6. Решить уравнение
(х - 1)>/х + л/4-х = 2л/х2-2х + 2.
Решение
Попытка решить это уравнение обычным способом, т. е. возведением обеих частей уравнения в квадрат, ни к чему хорошему не приводит.
Здесь мы применим идею решения, основанную на применении неравенства Коши-Буняковского, вернее, его частный случай:
ага2 + 6^2 < yjaf + &2 • yjaf + &2.
Заметим, что знак равенства выполняется в случае коллинеарности векторов (ах, &х) и (а2, &2).
В нашем случае левая часть исходного уравнения запишется в виде
(х - 1)4х + 1-\/4-х < ^(х-1)2 + 1 • ^/х + (4-х) =
= 2-^(х-1)2+ 1.
Из коллинеарности векторов (х - 1; 1) и (л/х;>/4-х) х-11
следует —^= ,(1)
yjx л/4-х
Из равенства (1) следует, что х > 0, х < 4 и х > 1, т. е. 1 < х < 4, тогда получим (х - 1)л/4-х = л/х , или
(х-1)2 (4-х) = х,
1<х<4;
* 2 - 8х - 4 - х3 + 2х2 - х = х, или
х3 - 6х2 + 10х -4 = 0.(2)
Заметим, что х = 2 — корень уравнения (2), тогда х2(х - 2) - 4х(х - 2) + 2(х - 2) = 0,
(х - 2)(х2 - 4х + 2) = 0,
откуда хх = 2 или х2 - 4х + 2 = 0, D/4 = 4- 2 = 2>0, х2 3 = 2 ± V2 , х2 = 2 + V2 , х3 = 2 - V2 (не удовлетворяет, так как х > 0).
Ответ: 2; 2+^2.
Пример 7. Решить уравнение
4(х - 1)(2х2 - 4х + 1)у]х(2-х) = 1.
Решение
Решение этого уравнения обычным способом, как иррационального с соответствующими преобразованиями, приводит к уравнению 8-й степени, решить которое невероятно сложно, тем более, что неизвестно, являются ли корни (если они существуют) целыми или дробными числами.
Учитывая вышеизложенное, очень важно найти идею решения в виде, например, удачной подстановки: х = 1 + cos t, где t е [0; л], тогда получим х - 1 = cos t, 2 - 4х + 1 = 2(х - I)2 - 1 = 2 cos2i -1 = = cos 2t,
yjx(2-x) = ^/(l + cos t)(2 -1 - cos t) = ^/(l + cos t)(l - cos t) = = a/1-cos2 t = -\/sin21 = |sin t| = sin t, так как, по условию, 0 < t < л и sin t > 0.
С учетом этих преобразований получим
4 cos t cos 2t sin t = 1, или (2 cos t sin t) • 2 cos 2t = 1, sin 2t • 2 cos 2t = 1, или 2 sin 2t cos 2t = 1, sin 4t = 1,
4t = — + 2лп, откуда t = — + — ,n e Z, тогда
28 2
x = 1 + cos t = 2 cos2 — = 2 cos2 — -1
2Цб 4
Остается найти границы п, учитывая, что 0 < t < л,
тогда 0 < — < —, или 0 < —+—< л, 0 < л + 4лп < 16л, 22164
115
О < 1 + 4п < 16, -1 < 4п < 15, — <п< — , откуда
44
п = 0, 1, 2, 3.
Ответ: 2 cos2 +» где п = 0, 1, 2, 3.
Пример 8. Решить уравнение 16х(2х2 + 1)>/х2 + 1 = 3.
Решение
Довольно сложное уравнение, решить которое, не зная идеи решения, очень проблематично.
Пусть х = tg а, тогда х2 + 1 = tg2 а + 1 = —— >0, cos а
где а е
л. л^ 2’2J
; 2х2 + 1 = 2 tg2a + 1, и данное уравне
ние примет вид
1л
16 tg a (2 tg2 a + 1) • = 3, a — + лп, n e Z,
cos a2
16 •
sin a 1 cos a cos a
2 sin2 a k cos2 a
+ 1 =3, или
)
16sina 2sin2 a+l-sin2 a
cos2 acos2 a
16 sin a(l + sin2 a) = 3(1 - sin2 a)2, или
3sin4 a - 16 sin3 a - 6 sin2 a - 16 sin a + 3 = 0, откуда видно, что sin a 0, тогда, разделив обе части полученного уравнения на sin2 а Ф 0, получим
163
3 sin2 a - 16 sin a - 6 + —5— = 0, или
sin a sin a
3| sin2 a+——I —161 sina + —-—6 = 0.(1)
sin a)sin a)
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Тождественные преобразования выражений ..6
Формулы сокращенного умножения9
Свойства арифметических корней10
Задачи для самостоятельного решения16
Группа А16
Группа Б18
Глава 2. Алгебраические уравнения
и системы уравнений22
Задачи для самостоятельного решения26
Группа А26
Группа Б26
1.Способ подстановки29
2.Способ сложения30
3.Графический способ решения
систем уравнений I степени32
Задачи для самостоятельного решения34
Группа А34
Группа Б35
§ 5. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным. Теорема Виета и ее применение37
Примеры решения квадратных уравнений... 39
1.Неполные квадратные уравнения39
2.Полные квадратные уравнения41
3.Уравнения, сводящиеся к квадратным....44
4.Применение теоремы Виета47
Задачи для самостоятельного решения52
Группа А52
Группа Б52
§ 6. Системы нелинейных уравнений54
Задачи для самостоятельного решения65
Группа А65
Группа Б66
§ 7. Текстовые задачи69
1.Задачи на числовые зависимости69
2.Задачи «на движение» 72
3.Задачи на «совместную работу»76
4.Задачи «на сплавы и смеси»79
5.Задачи «на проценты»81
6.Задачи «на разбавление»84
Задачи для самостоятельного решения86
Задачи на составление уравнений
I степени86
Задачи на составление систем уравнений
Iстепени87
Задачи на составление квадратных
уравнений88
Задачи на составление систем уравнений
IIстепени90
§ 8. Иррациональные уравнения91
1.Метод возведения обеих частей
уравнения в одну и ту же степень92
2.Метод введения новых переменных94
3.Искусственные приемы решения99
§ 9. Системы иррациональных уравнений103
Задачи для самостоятельного решения108
Группа А108
Группа Б108
§ 10. Уравнения с модулем110
Задачи для самостоятельного решения114
Группа А114
Группа Б114
Глава 3. Неравенства и системы неравенств116
Задачи с решениями116
§ 11. Линейные неравенства116
Задачи для самостоятельного решения118
Группа А118
Группа Б118
§ 12. Рациональные неравенства119
1.Простейшие неравенства, представленные
в виде произведения линейных множителей120
2.Простейшие неравенства, разлагающиеся
на линейные множители121
3.Простейшие дробно-рациональные
неравенства без кратных корней122
4.Неравенство, содержащее множитель, не принимающий нулевого значения
на числовой прямой123
5.Простейшие неравенства
с кратными корнями125
Задачи для самостоятельного решения126
Группа А126
Группа Б127
§ 13. Системы неравенств129
Задачи для самостоятельного решения135
Группа А135
Группа Б136
§ 14. Неравенства с модулем138
Задачи для самостоятельного решения145
Группа А145
Группа Б145
§ 15. Иррациональные неравенства146
Задачи для самостоятельного решения150
Группа А150
Группа Б151
Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения. Системы показательных и логарифмических уравнений153
Задачи с решениями153
§ 16. Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений153
Свойства степеней154
Свойства логарифмов155
Задачи для самостоятельного решения162
Группа А162
Группа Б164
§ 17. Показательные уравнения167
1.Решение уравнений с использованием
свойств показательной функции167
2.Решение уравнений, сводящихся
к квадратным168
3.Решение уравнений вынесением
общего множителя за скобку171
4.Решение показательных уравнений
логарифмированием обеих частей173
5.Решение уравнений с использованием
свойства монотонности показательной функции174
6.Решение показательно-степенных
уравнений176
Задачи для самостоятельного решения179
Группа А179
Группа Б179
§ 18. Логарифмические уравнения182
1.Решение уравнений, основанных
на определении логарифма182
2.Решение уравнений потенцированием185
3.Применение основного
логарифмического тождества186
4.Логарифмирование187
5.Замена переменной190
6.Переход к другому основанию192
§ 19. Системы показательных
и логарифмических уравнений195
Задачи для самостоятельного решения201
Группа А201
Группа Б202
Глава 5. Показательные и логарифмические неравенства206
Задачи с решениями206
§ 20. Показательные неравенства206
§ 21. Показательно-степенные неравенства212
Задачи для самостоятельного решения216
Группа А216
Группа Б217
§ 22. Логарифмические неравенства219
§ 23. Показательно-логарифмические
неравенства235
Задачи для самостоятельного решения238
Группа А238
Группа Б239
Глава 6. Тригонометрия242
Задачи с решениями242
§ 24. Преобразования тригонометрических выражений. Обратные тригонометрические функции242
Основные формулы242
Задачи для самостоятельного решения260
Группа А260
Группа Б262
§ 25. Тригонометрические уравнения268
1.Решение простейших
тригонометрических уравнений270
2.Решение уравнений разложением
на множители272
3.Решение уравнений, сводящихся
к квадратным276
4.Решение однородных и сводящихся
к ним уравнений278
5.Решение уравнений с помощью введения
вспомогательного аргумента282
6.Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций
в произведение285
7.Решение уравнений преобразованием
произведения тригонометрических функций в сумму287
8.Решение уравнений с применением
формул понижения степени289
9.Решение уравнений с применением
формул двойного и тройного аргументов... 292
10.Решение уравнений с помощью замены
переменных294
11.Решение уравнений вида /(x) = ^/cp(x) 296
12.Решение уравнений с использованием
ограниченности функций sin х и cos х298
§ 26. Решение систем тригонометрических уравнений301
Задачи для самостоятельного решения307
Группа А307
Группа Б308
Глава 7. Производная функция и ее применение312
Задачи с решениями312
§ 27. Производные элементарных функций.
Правила дифференцирования312
Таблица производных элементарных и сложных функций312
Правила дифференцирования313
1.Вычисление пределов313
2.Нахождение производных функций315
3.Уравнение касательной к графику
функции318
4.Нахождение промежутков монотонности
и точек экстремума функции320
5.Построение графика функции325
6.Нахождение наибольшего и наименьшего
значений функции327
Задачи для самостоятельного решения331
Группа А331
Группа Б334
Глава 8. Интеграл338
Задачи с решениями338
§ 28. Первообразная. Правила нахождения первообразных338
Таблица первообразных элементарных
и сложных функций338
Правила нахождения первообразных339
§ 29. Площадь криволинейной трапеции.
Вычисление интегралов342
§ 30. Вычисление площадей с помощью интеграла348
Задачи для самостоятельного решения355
Группа А355
Группа Б357
Глава 9. Прогрессии361
Задачи с решениями361
§ 31. Арифметическая прогрессия361
§ 32. Геометрическая прогрессия364
§ 33. Разные задачи на прогрессию373
Задачи для самостоятельного решения376
Группа А376
Группа Б377
Глава 10. Комбинаторика. Бином Ньютона.
Элементы теории вероятностей380
Задачи с решениями380
§ 34. Комбинаторика. Бином Ньютона380
§ 35. Элементы теории вероятностей382
ГЕОМЕТРИЯ390
Глава 11. Планиметрия390
Задачи с решениями390
Справочные материалы390
Решение задач391
§ 36. Треугольники393
Некоторые дополнительные соотношения
между элементами треугольника394
Решение задач395
§ 37. Четырехугольники421
1.Многоугольник421
2.Произвольный выпуклый
четырехугольник422
3.Вписанный четырехугольник422
4.Описанный четырехугольник422
5.Параллелограмм423
6.Ромб423
7.Прямоугольник423
8.Квадрат423
9.Трапеция423
Решение задач424
§ 38. Окружность и круг439
Решение задач440
Задачи для самостоятельного решения452
Группа А452
Группа Б458
Глава 12. Стереометрия469
Задачи с решениями469
§ 39. Многогранники469
Справочные материалы470
1.Призма470
2.Прямоугольный параллелепипед470
3.Куб471
4.Пирамида471
Дополнительные соотношения между элементами призмы и пирамиды472
1.Параллелепипед473
2.Призма476
3.Пирамида479
4.Усеченная пирамида484
5.Построение сечений486
§ 40. Круглые тела488
Справочные материалы489
1.Цилиндр489
2.Конус489
3.Усеченный конус490
4.Шар, сфера490
5.Части шара490
1.Цилиндр491
2.Конус493
3.Усеченный конус496
4.Шар, сфера497
5.Вписанные и описанные шары499
6.Тела вращения502
Задачи для самостоятельного решения504
Группа А504
Группа Б512
Глава 13. Нестандартные задачи к ЕГЭ521
Задачи с решениями521
§ 41. Алгебраические уравнения
высших степеней521
Задачи для самостоятельного решения541
§ 42. Нелинейные системы
алгебраических уравнений543
Задачи для самостоятельного решения574
§ 43. Иррациональные алгебраические
1.Иррациональные уравнения575
2.Иррациональные системы602
Задачи для самостоятельного решения613
§ 44. Тригонометрические уравнения615
Задачи для самостоятельного решения641
§ 45. Уравнения и неравенства с параметрами644
1.Рациональные уравнения и неравенства.... 644
2.Иррациональные уравнения
и неравенства655
Задачи для самостоятельного решения664
3.Тригонометрические уравнения
и неравенства666
Задачи для самостоятельного решения674
4.Показательные и логарифмические
уравнения и неравенства675
1.Показательные и логарифмические
уравнения675
2.Показательные и логарифмические
неравенства678
Задачи для самостоятельного решения681
Ответы683
Литература720
ЕНЕ
Учебное издание
Балаян Эдуард Николаевич
РЕПЕТИТОР ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ И АБИТУРИЕНТОВ
Возможна доставка книги в , а также в любой другой город страны Почтой России, СДЭК, ОЗОН-доставкой или транспортной компанией.
{{searchData}}
whatsup