j Репетитор по математике для 5-9 классов. Автор Балаян / Купить книгу, доставка почтой, скачать бесплатно, читать онлайн, низкие цены со скидкой, ISBN 978-5-222-33895-7

Внимание! Ближайшая дата отправки заказов в интернет-магазине -
30 мая 2024.
{{common_error}}
СКИДКИ! При заказе книг на сумму от 1500 руб. – скидка 50% от стоимости доставки в пункты выдачи BoxBerry и CDEK,
при заказе книг на сумму от 3000 руб. — скидка 80% от стоимости доставки в пункты выдачи BoxBerry и CDEK.

Репетитор по математике для 5-9 классов. (Балаян)Купить книгу, доставка почтой, скачать бесплатно, читать онлайн, низкие цены со скидкой, ISBN 978-5-222-33895-7

Репетитор по математике для 5-9 классов
Название книги Репетитор по математике для 5-9 классов
Автор Балаян
Год публикации 2021
Издательство Феникс
Раздел каталога Учебники и учебные пособия по гуманитарным, естественно- научным, общественным дисциплинам (ID = 144)
Серия книги Большая перемена
ISBN 978-5-222-33895-7
EAN13 9785222338957
Артикул 978-5-222-33895-7
Количество страниц 575
Тип переплета цел.
Формат 84*108/32
Вес, г 430

Посмотрите, пожалуйста, возможно, уже вышло следующее издание этой книги и оно здесь представлено:

Аннотация к книге "Репетитор по математике для 5-9 классов"
автор Балаян

Книга написана на основе действующей программы по математике для 5-9 классов общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Она содержит более 2800 задач, из которых около 800 даны с решениями, а остальные предназначены для самостоятельного решения. Каждая глава разбита на параграфы, большая часть которых сопровождается краткими теоретическими сведениями и методическими рекомендациями и включает достаточное количество примеров с подробными решениями. Задачи тщательно подобраны по принципу однородности тем, типов, методов решения и разбиты на две части по уровню сложности. В заключительной главе даются анализ и причины типичных ошибок, допускаемых школьниками на экзамене. Репетитор адресован учащимся 5-9 классов для самостоятельного повторения основных тем программы, подготовки к ОГЭ, олимпиадам различного уровня, а также студентам педучилищ, учителям математики и репетиторам.

Читать онлайн выдержки из книги "Репетитор по математике для 5-9 классов"
(Автор Балаян)

К сожалению, посмотреть онлайн и прочитать отрывки из этого издания на нашем сайте сейчас невозможно, а также недоступно скачивание и распечка PDF-файл.

До книги"Репетитор по математике для 5-9 классов"
Вы также смотрели...

Другие книги серии "Большая перемена"

Другие книги раздела "Учебники и учебные пособия по гуманитарным, естественно- научным, общественным дисциплинам"

Читать онлайн выдержки из книги "Репетитор по математике для 5-9 классов" (Автор Балаян)

Большая перемена
Э.Н. Балаян
РЕПЕТИТОР ПО МАТЕМАТИКЕ
для 5-9 КЛАССОВ
Подготовка к ОГЭ
800 задач с решениями
Более 2000 задач для самостоятельного
решения
Олимпиадные задачи
Типичные ошибки школьников на экзамене
Ростов-на-Дону ф еникс 2021
УДК 373.161.1:51
ББК 22.1я721
КТК 444
Б20
Балаян Э.Н.
Б20 Репетитор по математике для 5-9 классов / Э.Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2021. — 575 с. : ил. — (Большая перемена).
ISBN 978-5-222-33895-7
УДК 373.167.1:51 ISBN 978-5-222-33895-7ББК 22.1я721
© Балаян Э.Н., 2020
© Оформление ООО «Феникс», 2020
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателя книга предназначена для самостоятельного повторения школьного курса математики 5-9 классов. Она окажет неоценимую помощь при подготовке к итоговой аттестации, а также к олимпиадам различного уровня.
Книга состоит из 10 глав, каждая из которых включает несколько параграфов.
Главы 1-8 посвящены основным темам программы математики 5-9 классов. Все параграфы построены в основном по одной и той же схеме: необходимый справочный материал и методические рекомендации, задачи с решениями (около 800) и для самостоятельного решения (более 2000).
Учитывая, что уровень подготовки каждого школьника различен, автор счел необходимым разделить задания для самостоятельного решения на две части (за исключением §§ 21, 23 и двух последних глав).
Задачи части 1 соответствуют заданиям базового и среднего уровней, поэтому умение их решать достаточно для получения положительной оценки на общеобразовательном государственном экзамене (ОГЭ), но недостаточно для более высокой оценки.
Задачи части 2 являются более сложными и направлены на выработку умений и навыков на высоком уровне программных требований. Упражнения этой части могут быть использованы для организации индивидуальной работы на уроках с сильными учениками, факультативных занятиях, а также в работе математического кружка.
Наличие в книге задач двух уровней сложности несомненно поможет учителю вести дифференцированное обучение учащихся.
В 9-й главе приводятся олимпиадные задачи творческого характера, связанные с программным материалом 5-9 классов и направленные на формирование у учащихся навыков самостоятельной работы и приемов умственной деятельности, таких как анализ, синтез, аналогия, обобщение и др.
Наличие разнообразных идей, применяемых при решении задач, таких как делимость чисел, инварианты, решение уравнений в целых числах, принцип Дирихле, монотонность функции, неравенство Коши- Буняковского, задачи чисто логического характера и др., способствует резкой активизации мыслительной деятельности и умственной активности.
Ко всем задачам приводятся ответы, указания и решения, причем многие задачи решены различными способами, чтобы школьники могли ознакомиться с сущностью рациональности решения.
Автор настоятельно рекомендует обращаться к решениям, даже когда задача решена, или после многократных, но безуспешных попыток самостоятельно ее решить. Только в этом случае работа над задачей принесет несомненную пользу.
В заключительной главе рассматриваются типичные ошибки школьников на экзамене, в том числе вычислительные, ошибки в тождественных преобразованиях, при решении различных типов уравнений, неравенств, исследовании функции и построении графиков. Ошибки классифицированы, указаны их причины и приведены правильные решения.
Предисловие •>» 5
Для устранения пробелов в знаниях учащихся приводятся примеры для самостоятельного решения, которые помогут закрепить усвоенный материал (отмечены темными кружочками перед каждым номером, например, * 19).
5 КЛАСС
Глава 1
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Натуральные числа и шкалы
1.1.Натуральные числа
Это последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, ...
Число 1 — наименьшее натуральное число. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нем нет.
Число 0 не является натуральным.
Если запись числа состоит из одного знака — цифры, то его называют однозначным.
Например, числа 1, 6, 9 — однозначные. Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр, то его называют двузначным.
Числа 13, 29, 37, 89 — двузначные, 183, 566, 999 — трехзначные и т. д.
1.2.Отрезок. Длина отрезка. Треугольник
к
Отрезок — это часть прямой, * ограниченная с двух сторон.
Точки АиВ — концы отрезка.
Обозначение: АВ или ВА.
N
Точка М расположена на отрезке АВ, а точки К и N — вне отрезка.
Обозначение: М е. АВ (М принадлежит АВ);
А е АВ (А принадлежит АВ);
В g АВ (В принадлежит АВ);
К i АВ, N t. АВ (К и N не принадлежат АВ).
Точки А, В и С — вершины треугольника, а отрезки АВ, ВС и АС — стороны треугольника.
MNKL — четырехугольник.
Приведенные фигуры назы
ваются многоугольниками.
1.3.Плоскость. Прямая. Луч
Примеры плоскостей: лист бумаги, поверхность стола, доски.
Если соединить две точки и провести через них по линейке линию, то получим прямую.,,
Обозначение: прямая АВАв
или прямая ВА.
Через любые две точки можно провести лишь одну прямую.
Прямая бесконечна, т. е. не имеет концов.
Всякая прямая делит плоскость на две части, две полуплоскости.
Если прямую АВ разделить —*♦*
точкой О, то получим два луча: луч ОВ и луч ОА.
Точка О — начало луча, поэтому переставлять буквы в их названиях нельзя.
В отличие от прямой — луч бесконечен только в одну сторону.
1.4.Шкалы и координаты
Шкалы встречаются на линейке, термометре, часах и т. д.
О А В С I111111—►х
0123456
На рисунке изображен луч ОХ.
Точка О — начало луча, под ней число 0, под точкой А — число 1.
Отрезок ОА называется единичным отрезком.
Луч ОХ называется координатным лучом.
Числа 0, 1, 2, 3 ..., соответствующие точкам О, А, В, С ..., называются координатами этих точек и записываются так: О (0), А(1), В(2) и т. д.
1.5.Сравнение чисел
Число, которое при счете называют раньше, меньше того, которое при счете называют позже.
Число 1 меньше, чем 5, а число 8 больше, чем 5.
Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой.
Например, точка В(2) лежит левее точки С(3) (см. рисунок выше).
Ноль меньше любого натурального числа.
При сравнении чисел используют знаки > (больше), < (меньше), = (равно).
Например: 1 < 7, 8 > 2, 5 = 5.
Число 2 меньше, чем 4, но больше, чем 1. Это записывается в виде двойного неравенства: 1 < 2 < 4.
Легкий способ запоминания знаков > или < для сравнения чисел:
меньшее число должно находиться с острого (маленького) конца знака, а большее — с широкого (большого) конца знака.
Например: 6 < 8, 8 > 6.
§2. Сложение и вычитание натуральных чисел
2.1.Сложение натуральных чисел и его свойства
Слагаемые — это числа, которые складывают, а результат их сложения называется суммой.
Например: 3 + 5 = 8, где 3 и 5 — слагаемые, 8 — сумма.
Если переставить слагаемые местами, то сумма не меняется:
2 + 7 = 7 + 2 = 9.
Это свойство называется переместительным:
а + b = Ь + а.
Для трех и более чисел:
2 + (4 + 3) = (2 + 4) + 3 = (2 + 3) + 4 = 9. Значит, а + (Ь + с) = (а + Ь) + с = b + (а + с). Это свойство сложения называется сочетательным.
Если к числу прибавить ноль, то сумма равна самому числу.
Например: 6 + 0 = 6.
Верно и обратное: при прибавлении числа к нулю сумма равна прибавляемому числу:
0 + 6 = 6.
Значит, а + 0 = а, 0 + а = а.
2.2.Вычитание натуральных чисел
и его свойства
19 — 8 = 11, где 19 — уменьшаемое, 8 — вычитаемое, 11 — разность.
Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым, а число, которое вычитают, — вычитаемым.
Результат вычитания называется разностью.
Разность двух чисел показывает, на сколько уменьшаемое больше вычитаемого или на сколько вычитаемое меньше уменьшаемого:
8 - 3 = 5, 8 > 3,
8 больше 3 на 5.
Пример 1.627 - (227 + 34) = 627 - 261 = 366.
Проще считать так: 627 - (227 + 34) = 627 - 227 -
-34 = 400 - 34 = 366.
Значит, а - (Ъ + с) = а - Ъ - с.
Это свойство называется свойством вычитания суммы из числа.
Пример 2. 463 - 35 - 65 = 428 - 65 = 363.
Решим проще: 463 - 35 - 65 = 463 - (35 + 65) = = 463 - 100 = 363.
Это свойство вычитания числа из суммы.
Пример 3. (649 + 174) - 349 = 823 - 349 = 474.
Проще решить так: (649 + 174) - 349 = 649 -
-349 + 174 = 300 + 174 = 474.
2.3.Уравнение
Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное.
Например: х + 3 = 8.
Если х = 5, то 5 + 3 = 8 — верно;
если х = 6, то 6 + 3 = 9 — неверно.
Число х = 5 называется корнем уравнения.
Значит, корнем уравнения называется число, которое при подставлении в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что их нет.
Пример 1. х + 34 = 73.
х = 73 - 34, или х = 39 — корень уравнения, так как 39 + 34 = 73 — верно.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из сум- \ мы вычесть известное слагаемое.
Пример 2. у - 14 = 55.
у = 55 + 14, или у = 69 — корень уравнения, так как 69 - 14 = 55 — верно.
( Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сло- \ жить разность и вычитаемое.
Пример 3. 69 - а = 28.
а = 69 - 28, или а = 41 — корень уравнения, так как 69 - 41 = 28 — верно.
( Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из \ уменьшаемого вычесть разность.
Пример 4. Две дыни весят 8 кг, причем масса одной из них 3 кг. Найти массу другой дыни.
Решение.
Пусть масса второй дыни х кг. По условию задачи масса двух дынь 8 кг. Тогда получим уравнение х + 3 = 8, откуда х = 8 - 3, или х = 5. Значит, масса второй дыни 5 кг.
Ответ: 5 кг.
§3. Умножение и деление натуральных чисел
3.1.Умножение натуральных чисел и его свойства
Выражение вида a • b, а также значение этого выражения называется произведением чисел а и Ь.
Числа а и Ь называются множителями.
7 • 3 = 21, где 7 и 3 — множители, 21 — произведение.
a • Ь = Ь • a — переместительное свойство умножения.
a • (Ь • с) = Ь • (а • с) = с • (а • Ь) — сочетательное свойство умножения.
Например: (7 • 3) • 2 = 21 • 2 = 42, или 7 • (3 • 2) = = 7 • 6 = 42, или 3 • (7 • 2) = 3 • 14 = 42.
Вместо 6 • а пишут 6а, вместо а • b пишут аЬ.
Аналогично вместо 4 • (т + п) пишут 4(тп + п), вместо (а + 8) • (6 + 3) пишут (а + 8)(6 + 3), вместо а • (Ь • с) пишут abc.
3.2.Деление натуральных чисел и его свойства
Деление — это действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят второй множитель.
Например: 48 : 12 = 4, где 48 — делимое, 12 — делитель, 4 — частное.
Число, которое делят, называется делимым, число, на которое делят, называется делителем, а результат деления называется частным.
Частное показывает, во сколько раз делимое больше делителя.
Выражение вида а : 0 не имеет смысла:
а • 1 = а, а : 1 = а и а : а = 1.
3.3.Деление с остатком
16 : 5 = 3 (1 остаток).
16 — делимое, 5 — делитель, 3 — неполное частное, 1 — остаток.
15: 5 = 3.
Если в остатке ноль, то делимое делится на делитель нацело (без остатка).
16= 5 • 3 + 1.
Чтобы найти делимое, надо перемножить делитель и неполное частное и прибавить остаток.
3.4.Порядок выполнения действий
Iступень — сложение и вычитание',
IIступень — умножение и деление.
Пример 1. Найти значение выражения 34 + 66 - - 28 -32.
Решение.
1) 34 + 66 = 100; 2) 100 - 28 = 72;
3) 72 - 32 = 40.
Ответ: 40.
Пример 2. Вычислить: 48 : 6 * 22 : 16 * 3.
Решение.
1) 48 : 6 = 8;2) 8 • 22 = 176;
3)176:16 = 11;4)11-3 = 33.
Ответ: 33.
Пример 3. Вычислить: 35 - 6 • 3 : 2 + 7 • 7. Решение.
1) 6 • 3 = 18;2) 18 : 2 = 9;3) 7 • 7 = 49;
4) 35 - 9 = 26;5) 26 + 49 = 75.
Ответ: 75.
Пример 4. Вычислить: 63 : (44 - 38 + 3) - 18 : 6. Решение.
1) 44 - 38 = 6;2) 6 + 3 = 9;3) 63 : 9 = 7;
4) 18 : 6 = 3;5) 7 - 3 = 4.
Ответ: 4.
3.5.Упрощение выражения
Рассмотрим два выражения:
(4 + 3) • 5 и 4 • 5 + 3 • 5,
(4 + 3) • 5 = 7 • 5 = 35 и 4 • 5 + 3 • 5 = 20 + 15 = 35. Как видим, значения обоих выражений равны 35. Значит, (4 + 3) • 5 = 4 • 5 + 3 • 5.
С помощью букв получим
{а + Ь) • с = а • с + b • с.
Это свойство умножения называется распределительным свойством умножения.
Аналогично (а - Ь) • с = а • с - Ь • с.
Например: (9 - 4) • 3 = 9 • 3 - 4 • 3.
Используя распределительное свойство умножения, можно упрощать буквенные выражения.
Например: 4х + 3х = 4- х + 3- х = (4 + 3) • х = 7х; 5а + а = 5- а + 1- а = (5 + 1)-а = 6а;
7у - 2у = 7 • у - 2 • у = (7 - 2) • у = 5у;
8& - & = 8 • & - 1 • & = (8 - 1) • & = 7&.
3.6.Степень числа. Квадрат и куб числа
Запись 25 читается так:
2 в пятой степени обозначает произведение пяти множителей, каждый из которых равен двум.
Число 2 называется основанием степени.
Число 5 — показатель степени, показывает, сколько множителей в произведении.
Примеры:
а) 3 • 3 • 3 = З3 = 27; б) 5 • 5 • 5 • 5 = 54 = 625;
в) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 26 = 64.
Число х во второй степени х2 = х • х называют х в квадрате.
Аналогично х3 = х • х • х называют х в кубе. Примеры:
а) З3 + 24 = 27 + 16 = 43; б) З2 • 42 = 9 • 16 = 144; в) (3 + 5)2 = 82 = 64.
§4. Формулы скорости, плошали и объема
4.1. Формулы. Формула скорости, пути
v = S : t — формула скорости, где S — путь, t — время.
S = v • t — формула пути.
4.2.Плошадь. Формула плошали прямоугольника
S = a • Ь, где a — длина, Ь — ширина, S — площадь.
Если длина и ширина выражаются в см, то площадь выражается в см2.
Если длина и ширина вы-
ражаются в метрах, то площадь будет измеряться в м2. ь
1 га = 100 м • 100 м =
= 10 000 м2;
1 а = 10 м • 10 м = 100 м2.a
Так как 1 дм = 10 см, то 1 дм2 = 1 дм • 1 дм = = 10 см • 10 см = 100 см2.
Значит, 1 дм2 = 100 см2.
Аналогично, 1 м = 10 дм, 1 м2 = 10 дм • 10 дм = = 100 дм2.
Кроме того, 1 м2 = 100 дм2 = 100 см • 100 см = = 10 000 см2.
1 см2 = 1 см • 1 см = 10 мм • 10 мм = 100 мм2.
Если длина и ширина прямоугольника записаны в разных единицах, то их надо привести к одной единице измерения длины.
4.3.Прямоугольный параллелепипед. Объем.
У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер, 6 граней, 8 вершин.
Все грани — прямоугольники.
Если a — длина, b — ширина, с — высота, то площадь всей поверхности равна:
S = 2(аЬ + Ьс + ас), V = а-Ь • с — объем.
а, Ь, с называют измерениями параллелепипеда.
Если а = & = с, т. е. измерения
параллелепипеда равны, то по
лучим куб.
У куба все грани — равные
квадраты.
Поверхность куба S = 6а2. Объем куба V = а • а • а = а3. Если а = 1 см, то V = 1 см3.
а
а
Глава 2
ДРОБНЫЕ ЧИСЛА
§5. Обыкновенные дроби
5.1. Окружность и круг
Окружностью называется кривая замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от ее центра.
О — центр окружности.
Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой
на окружности, называется радиусом.
АО = ОВ = ОС = R — радиус.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.
D = АВ — диаметр, АВ = 27?.
Часть плоскости, ограничен-
Окружность
ная окружностью, называется кругом.
Часть окружности называется дугой.
vjAC — дуга АС, иСВ — дуга СВ, иАСВ — дуга АСВ.
5.2. Доли. Обыкновенные дроби
Запись — называется обыкновенной дробью.
Число 3, написанное над чертой, называется числителем дроби, а число 5, написанное под чертой, — знаменателем дроби.
Знаменатель показывает, на какое количество частей разделили, а числитель — сколько взято таких частей.
Дроби можно изображать на координатном луче:
АЕ
i1111111—►
°1234561
777777
Отрезок ОА = у ОЕ.
Отрезок ОЕ — единичный отрезок.
5.3.Правильные и неправильные дроби
Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной.
„3723
Например: —, —, .
411149
Дробь, у которой числитель больше или равен
знаменателю, называется неправильной.
Например: —,
5
3
3’
11
4 ’
2020
2020'
Глава 8
ПРОГРЕССИИ
§31. Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждое число,
начиная со второго, равно предыдущему, сложенному с постоянным для данной последовательности числом.
Это постоянное число называется разностью прогрессии и обозначается буквой d.
Арифметическая прогрессия обычно обозначается («»)•
Из определения следует: а2 - аг = а3 - а2 = ... = = ап- ал_! = d.
Если d > 0, то прогрессия называется возрастающей, если d < 0 — убывающей.
Последовательность (ап) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого
равенство
Это свойство называется характеристическим свойством арифиметической прогрессии.
ап = аг + (п - 1) d - формула n-го числа, где п - число членов.
Формула суммы п первых членов арифметической
прогрессии имеет вид
Д1 + °п
2
■п.
Так как ап = аг + (п - 1) d, то получим II формулу
суммы п первых членов:
_2a1 + (n-l)d
Пример 1. Определить последний член арифметической прогрессии, в которой ar = 8, d = 5, n = 15.
Решение.
По формуле an = a1 + (п- 1) d имеем
а15 = 8 + (15 - 1) ■ 5 = 8 + 14 • 5 = 78.
Ответ: 78.
Пример 2. Найти сумму членов арифметической прогрессии, в которой аг = 100, d = -2, п = 50.
Решение.
Так как п = 50, то, используя II формулу суммы п первых членов, имеем
s^2.100+(5Q-l).(-2)50t
2
S50 = 20°~98 • 50 = 51 • 50 = 2550.
Ответ: 2550.
Пример 3. Вычислить сумму всех двузначных натуральных чисел.
Решение.
Дано: а1 = 10, d=l, ап=99, тогда an=a1 + (n-l)d, или 99 = 10 + (п - 1) • 1, откуда п = 90, тогда
= Д1 + оп .s = (Ю+ 99)-90 ==
2 90 2
Ответ: 4905.
Пример 4. Найти х из уравнения
1+ 4 + 7 + ... + х = 117.
Решение.
Заметим, что левая часть уравнения представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, в которой Oj = 1, d = 3, an = х.
an = ar + (n - 1) d, suitl x = 1 + (n - 1) 3, x = 3n - 2.
Используя формулу суммы членов арифметической
прогрессии Sn = — ■ п, имеем
2
^-^■п = 117, или (1 + х) п = 234.
Так как х = Зп - 2, то п = — (х + 2), тогда получим 3
уравнение (1+х)-—(х + 2) = 234, или (1 + х) ■ (х + 2) = 3
702, х2 + Зх - 700 = 0, откуда находим х7 = 25, х2 = -28 (не подходит, так как d > 0).
Итак, х = 25.
Ответ: 25.
Пример 5. Между числами 7 и 35 вставить 6 чисел так, чтобы они вместе с данными числами составили арифметическую прогрессию.
Решение.
Из условия имеем ar = 7, ая = 35. Задача сводится к определению разности d прогрессии по формуле
ап = а, + (n - l)d; 35 = 7 + (8 - 1) • d, 7d = 28,d = 4. Тогда а2 = а7 + d = 7 + 4 = 11, а3 = а2 + d = 15, а4 = 19, а5 = 23, а6 = 27, а7 = 31.
Ответ: 11; 15; 19; 23; 27; 31.
Пример 6. Определить первый член и разность арифметической прогрессии, в которой а7 - а3 = 8, а2 - а7 = 75.
Решение.
Нам надо найти аг и d. Имеем систему a1+6d-(a1 + 2d) = 8, [d = 2, (a1 + d)(a1 + 6d) = 75,1+2)(а1 + 12) = 75.
Из II уравнения системы имеем of+ 140^-51 = 0, откуда (ajj = -17, (aj., = 3.
Ответ: •
«1 =-17, d = 2.
Oi — З, d = 2.
Пример 7. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (ап), если а6 + ав + а12 + + о15 = 20.
Решение.
Заметим, что аг + а20 = а6 + а15 = ав + а12, тогда
+ а20 = 20 : 2 = 10, и так как Sn = 01 + °п • д, то на-
2
ходим S20 = 01 + 020 20 = — ■ 20 = 100 .
22
Ответ: 100.
Пример 8. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15, а сумма квадратов этих же чисел равна 93. Найти эти числа.
Решение.
Пусть а1г а2, а3 — искомые числа, образующие арифметическую прогрессию, тогда имеем систему уравнений
ах + а2 + а3 =15,
а? + а2+а3 =93.
Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, получим аг + а3 = 2а2, тогда I уравнение системы примет вид За2 = 15, откуда а2 = 5.
Подставляя значение а2 = 5 во II уравнение, имеем of + а3 = 68, или of + (о, + 2d)2 = 68.
Кроме того, а2 = аг + d = 5, тогда of + (5 + d)2 = 68.
Выразим d через ах; d = 5 - аг, значит,
of+ (10-a1)2 =68, 2^-20^ + 32 = 0, или
af-10a1 + 16 = 0, откуда (a^ = 2, (a^ = 8 и dr = 3, d2 = -3.
Ответ: 2, 5, 8.
Глава 9
ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 5-9 КЛАССОВ
§34. Условия задач
5класс
1.Мальчик нарисовал 4 луча с началом в точке О. Сколько острых углов получилось?
2.Гусеница ползет по стволу тополя. За первый час она поднялась на 10 см, за второй час опустилась на 4 см, за третий час вновь поднялась
на 10 см, а за четвертый — опусти
лась на 4 см. Так гусеница продолжала подниматься и опускаться в течение нескольких часов. На сколько гусеница поднимется за 11 ч?
3.Вписать в квадратики цифры от 0 до 9 без повторений так, чтобы получились три верных примера на
сложение. Найти все решения.
4.Не производя указанных действий, установить, правильной или неправильной дробью является число
1915-2021-106 1915 + 2021-1914'
5.Найти такие пары натуральных чисел, сумма которых больше их произведения.
6.В классе 17 пловцов, 6 борцов и 13 шахматистов. Известно, что каждый спортсмен занимается двумя видами спорта. Сколько в классе спортсменов?
7.Заполнить пустые клетки так, чтобы сумма чисел в трех любых соседних клетках как по вертикали, так и по горизонтали равнялась 13.
8.На какое наибольшее число частей можно разрезать круглый торт пятью прямолинейными разрезами?
9.Найти наименьшее натуральное число, которое кратно числам 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10.
10.Расставить в записи 4 ■ 12 + 18 : 6 + 3 скобки так, чтобы получился наименьший возможный результат.
11.На сколько процентов увеличится объем прямоугольного параллелепипеда, если длину и ширину его увеличить на 10%, а высоту уменьшить на 10% ?
12.В одном доме живут 23 ученика одной и той же школы. В этой школе 22 класса. Доказать, что хотя бы два ученика, живущих в этом доме, учатся в одном и том же классе.
13.Который сейчас час, если оставшаяся часть суток втрое больше прошедшей?
14.Разделить 8 л молока поровну, имея посуду емкостью 3 л и 5 л.
15.4 землекопа за 4 ч выкопали 4 ямы. Сколько ям выкопают 8 землекопов за 6 ч?
16.Составить 3 арифметических примера на три разных действия, причем в эти примеры должны войти по одному разу все цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например: 7 + 1 = 8; 9-6 = 3; 4-5 = 20.
17.Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 100. Найти уменьшаемое.
18.Найти наименьшее число, которое записано только единицами и делится на 33.
19.Сколько раз цифра 7 встречается в записях всех чисел от 50 до 100?
20.Одно число в 13 раз больше другого. Во сколько раз НОК этих чисел больше их НОД?
21.Сколько треугольников на рисунке?
22.Вычислить
1111111111
—I 1Ь.. • 4 11 Ь • • • 4...
2 2 22 4 44 100 100100
13 раз7 раз25 раз
23.Восстановить цифру а в числе 7аа4, которое делится на 9.
24.Сколько слагаемых с числителем 1 пропущено
4312
в примере——
= 3?
25.В прямоугольнике размерами 50 дм х 12 дм большую сторону уменьшили на 50%, а меньшую увеличили на 150%. Как изменилась площадь прямоугольника?
5
26.До конца суток осталось — того времени, что
3
уже прошло от начала суток. Сколько сейчас времени?
27.Можно ли в записи 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = = 30 вместо * поставить (в любом порядке) знаки «+» и «-» так, чтобы получилось верное равенство?
28.Сумма цифр а и & делится на 13. Докажите, что число aba также делится на 13.
29.Хулиган Вася в наказание за полученную двойку получил на дом пример: вычислить
1-2 + 2 -3 + 3 -4 + .. .99 100.
Потратив всю ночь, Вася вычислил и получил 20 102 011. Доказать, что он ошибся.
30.К числу прибавили i его, а затем вычли i
2 2 суммы и получили 333. Найти число.
31.Найти все двузначные числа, которые уменьшаются в 13 раз при зачеркивании последней цифры.
21
32.Как от веревки длиной — м отрезать — м, не
32
пользуясь никакими измерительными приспособлениями?
33.Руслану выставили годовые оценки по 12 предметам. Его средний балл был 3,5. По скольким предметам ему надо повысить свои оценки на 1 балл, чтобы средний балл стал равен 4?
34.Все натуральные числа от 1 до 999 выписали в ряд, получилось многозначное число. Найти сумму его цифр.
35.Найти 8 последовательных целых чисел, сумма первых трех из которых равна сумме остальных пяти.
36.Расставить по кругу 4 единицы, 3 двойки и 3 тройки так, чтобы сумма любых трех подряд стоящих цифр не делилась на 3.
37.Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы получить трехзначное число, записываемое одинаковыми цифрами?
38.Найти сумму: 1 + 3 + 5 + ... + 99.
В координатной системе Оах отметим штриховкой область, заданную указанными неравенствами.
Ответ: при а < 1 решений нет;
Гс ля + 3
при а > 1, х е 6-4а; .
2
3. Решение.
Имеем ххОО + уу = г2, или ИООх + lly = г2, 11(100х + у) = г2, значит, г = 11т, где т е N, тогда 100х + у = 11т2, или х + у = 11(т2 - 9х).
Поскольку х + у делится на 11 и х < 9, у < 9, то х + у=11, тогда т2 = 9х + 11, где 1 < х < 9. Следовательно, х = 7, т = 8, у = 4, г = 11т = 88.
Ответ: (7; 4; 88).
ОТВЕТЫ
5 КЛАСС
Глава 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§§1-7
Часть 1
1. а) 13 293; б) 4 016 000 013. 2. а) 117 единиц. 3. а) 4232 кг; б) 15 731 кг. 4. а) 6 кг 723 г; б) 27 кг 543 г. 5. четырехзначное. 6. 42 гриба. 7. а) 64; б) 122. 8. а) 94; б) 293. 9. 148 см. 10. а) 374; б) 256. 11. а) 95; б) 2. 12. 154 см. 13. а) 37; 6)111. 14. а)х = = 111; б) у = 44; в) a = 42. 15. а) 2754; б) 4326. 16. а) 367; б) 494. 17. а) 322; б) 32. 18. а) х = 6; б) у = 16. 19. а) 16 — неполное частное, 9 — остаток; б) 27 — неполное частное, 3 — остаток. 20. а) 1080; б) 6800. 21. а) х = 3; б) у = 10. 22. 23. 23. 98. 24. а) 61; б) 280. 25. х = 19. 26. а) 75 км/ч; б) 200 м/мин. 27. а) 20 км; б) 150 м. 28. 40 см2. 29. 12 см. 30. а) 20 000 м2; 1200 м2; 30 500 м2; б) 3 га; 415 га. 31. а) 900 см2. 32. 222 см2. 33. 120 см3. 34. а) 2032 дм3; б) 5310 дм3.
Глава 2. ДРОБНЫЕ ЧИСЛА
40.
17
26’
59
11’ 11
11 - '14- •
8 13’
35. 6 см. 36. MN = — . 37. 2700 л. 38. а) 53
3
939
14-11’ И’ И’
752.. -1 пг 1
—; —; —. 41. 12 деталей. 42. — 13131322
х =—. 44. — = 7. 45. 60. 46. а) а = 7; б) & = 4. 133
ОГЛАВЛЕНИЕ
5КЛАСС
Глава 1. Натуральные числа6
§ 1. Натуральные числа и шкалы6
1.2.Отрезок. Длина отрезка. Треугольник ... 6
1.3.Плоскость. Прямая. Луч7
1.4.Шкалы и координаты8
1.5.Сравнение чисел8
§2. Сложение и вычитание натуральных чисел9
2.1.Сложение натуральных чисел
и его свойства9
2.2.Вычитание натуральных чисел
и его свойства10
2.3.Уравнение10
§3. Умножение и деление натуральных чисел12
3.1.Умножение натуральных чисел
и его свойства12
3.2.Деление натуральных чисел
и его свойства12
3.3.Деление с остатком13
3.4.Порядок выполнения действий13
3.5.Упрощение выражения14
3.6.Степень числа. Квадрат и куб числа15
§4. Формулы скорости,
площади и объема15
4.1.Формулы. Формула скорости, пути15
4.2.Площадь. Формула площади
прямоугольника15
4.3.Прямоугольный параллелепипед.
Объем16
Глава 2. Дробные числа18
§5. Обыкновенные дроби18
5.1.Окружность и круг18
5.2.Доли. Обыкновенные дроби19
5.3.Правильные и неправильные дроби19
5.4.Сравнение дробей20
5.5.Сложение и вычитание дробей
с одинаковыми знаменателями20
5.6.Деление и дроби21
5.7.Смешанные числа21
§6. Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей22
6.1.Десятичная запись дробных чисел22
6.2.Сравнение десятичных дробей23
6.3.Сложение и вычитание десятичных
дробей24
6.4.Приближенные значения чисел.
Округление чисел25
§ 7. Умножение и деление десятичных дробей26
7.1.Умножение десятичных дробей26
7.2.Деление десятичных дробей28
7.3.Среднее арифметическое29
7.4.Проценты30
Задачи30
Часть 130
Часть 237
6КЛАСС
Глава 3. Обыкновенные дроби43
§8. Делимость чисел43
8.1.Делители и кратные43
8.2.Признаки делимости на 10,
на 5 и на 245
8.3.Признаки делимости на 9 и на 346
8.4.Простые и составные числа49
8.5.Разложение на простые множители50
8.6.Наибольший общий делитель (НОД).
Взаимно простые числа51
8.7.Наименьшее общее кратное (НОК)52
Задачи54
Часть 154
Часть 256
§9. Сложение и вычитание дробей с разными
знаменателями57
9.1.Основное свойство дроби57
9.2.Сокращение дробей58
9.3.Приведение дробей к общему
знаменателю59
9.4.Сравнение, сложение и вычитание
дробей с разными знаменателями61
9.5.Сложение и вычитание
смешанных чисел63
Задачи66
Часть 166
Часть 269
§ 10. Умножение и деление
обыкновенных дробей72
10.1.Умножение дробей72
10.2.Нахождение дроби от числа73
10.3.Применение распределительного
свойства умножения74
10.4.Взаимно обратные числа77
10.5.Деление дробей78
10.6.Нахождение числа по его дроби79
10.7.Дробные выражения80
Задачи84
Часть 184
Часть 287
§11. Отношения и пропорции90
11.1.Отношения90
11.2.Пропорции92
11.3.Прямая и обратная
пропорциональные зависимости96
11.4.Масштаб99
11.5.Длина окружности
и площадь круга101
11.6.Шар104
Задачи106
Часть 1106
Часть 2107
Глава 4. Рациональные числа108
§ 12. Положительные и отрицательные числа108
12.1.Координаты на прямой108
12.2.Противоположные числа110
12.3.Модуль числа112
12.4.Сравнение чисел112
Задачи113
Часть 1113
Часть 2113
§ 13. Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел115
13.1.Сложение чисел с помощью
координатной прямой115
13.2.Сложение отрицательных чисел116
13.3.Сложение чисел
с разными знаками116
13.4.Вычитание117
Задачи117
Часть 1117
Часть 2118
§ 14. Умножение и деление положительных
и отрицательных чисел119
14.1.Умножение119
14.2.Деление120
14.3.Рациональные числа121
14.4.Свойства действий
с рациональными числами122
Задачи124
Часть 1124
Часть 2125
§15. Решение уравнений127
15.1.Раскрытие скобок127
15.2.Коэффициент128
15.3.Подобные слагаемые129
15.4.Решение уравнений129
Задачи131
Часть 1131
Часть 2132
§ 16. Координаты на плоскости134
16.1.Координатная плоскость134
16.2.Перпендикулярные прямые135
16.3.Параллельные прямые135
Задачи136
Часть 1136
Часть 2137
7-9 КЛАССЫ
Глава 5. Тождественные преобразования выражений139
§17. Преобразование алгебраических
выражений139
17.1.Формулы сокращенного
умножения139
17.2.Свойства степеней139
17.3.Свойства арифметических корней .... 139
Задачи154
Часть 1154
Часть 2155
Глава 6. Алгебраические уравнения и системы уравнений160
§ 18. Линейные уравнения160
Задачи164
Часть 1164
Часть 2165
§ 19. Системы линейных уравнений166
19.1.Способ подстановки167
19.2.Способ сложения168
19.3.Графический способ решения
систем I степени171
Задачи173
Часть 1173
Часть 2174
§20. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным. Теорема Виета и ее применение176
20.1.Неполные квадратные уравнения179
20.2.Квадратные уравнения общего вида.. 180
20.3.Уравнения, сводящиеся
к квадратным181
20.4.Применение теоремы Виета183
Задачи186
Часть 1186
Часть 2186
§21. Алгебраические уравнения высших степеней188
Задачи для самостоятельного решения210
§22. Системы нелинейных уравнений212
Задачи224
Часть 1224
Часть 2224
§23. Текстовые задачи227
23.1.Задачина числовые зависимости227
23.2.Задачина «движение»230
23.3.Задачина «совместную работу»234
23.4.Задачина «сплавы и смеси»237
23.5.Задачина «проценты»239
23.6.Задачина «разбавление»242
Задачи244
Задачи на составление уравнений
I степени244
Задачи на составление систем
уравнений I степени246
Задачи на составление квадратных
уравнений247
Задачи на составление систем уравнений II степени249
§24. Иррациональные уравнения
и системы уравнений250
24.1.Метод возведения обеих частей
в одну и ту же степень251
24.2.Метод введения новых переменных ..254
24.3.Искусственные приемы решения259
Задачи268
Часть 1268
Часть 2269
§25. Уравнения и системы уравнений с модулем....271
25.1.Уравнения с модулем272
25.2.Системы уравнений с модулем277
Задачи278
Часть 1278
Часть 2278
Глава 7. Неравенства и системы неравенств280
§26. Линейные неравенства280
Задачи282
Часть 1282
Часть 2282
§27. Рациональные неравенства283
27.1.Простейшие неравенства,
представленные в виде произведения линейных множителей283
27.2.Простейшие неравенства,
разлагающиеся на линейные множители285
27.3.Простейшие дробно-рациональные
неравенства без кратных корней285
27.4.Неравенство, содержащее множитель, не принимающий нулевого значения
на числовой прямой287
27.5.Простейшие неравенства
с кратными корнями289
Задачи290
Часть 1290
Часть 2291
§28. Системы неравенств293
Задачи300
Часть 1300
Часть 2301
§29. Неравенства с модулем302
Задачи310
Часть 1310
Часть 2311
§30. Иррациональные неравенства312
Задачи317
Часть 1317
Часть 2317
Глава 8. Прогрессии319
§32. Геометрическая прогрессия323
§33. Разные задачи на прогрессию332
Задачи335
Часть 1335
Часть 2337
Глава 9. Олимпиадные задачи по математике
для 5—9 классов341
§34. Условия задач341
7класс359
8класс370
9класс382
§35. Ответы, указания, решения392
5класс392
6класс401
7класс410
8класс428
9класс469
Глава 10. Типичные ошибки школьников
на экзамене513
§36. Вычислительные ошибки513
36.1.Действия с обыкновенными
и десятичными дробями513
36.2.Нахождение значений выражений,
содержащих степени514
36.3.Нахождение значений выражений,
содержащих корни515
§37. Ошибки в тождественных преобразованиях516
37.1.Действия с многочленами516
37.2.Действия с алгебраическими
дробями517
37.3.Преобразование выражений, содержащих корни и степени
с дробными показателями519
§38. Ошибки при решении различных типов
уравнений521
§39. Ошибки при решении неравенств528
§40. Ошибки при исследовании функций,
их свойств и построении графиков535
5класс542
6класс544
7-9 классы554
Литература566
ЕЯ[
Учебное издание
Балаян Эдуард Николаевич
РЕПЕТИТОР
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ 5-9 КЛАССОВ
Ответственный редактор С. Осташов Технический редактор Л. Багрянцева
Возможна доставка книги в , а также в любой другой город страны Почтой России, СДЭК, ОЗОН-доставкой или транспортной компанией.
{{searchData}}
whatsup