j
Название книги | Репетитор по математике для 5-9 классов |
Автор | Балаян |
Год публикации | 2021 |
Издательство | Феникс |
Раздел каталога | Учебники и учебные пособия по гуманитарным, естественно- научным, общественным дисциплинам (ID = 144) |
Серия книги | Большая перемена |
ISBN | 978-5-222-33895-7 |
EAN13 | 9785222338957 |
Артикул | 978-5-222-33895-7 |
Количество страниц | 575 |
Тип переплета | цел. |
Формат | 84*108/32 |
Вес, г | 430 |
Посмотрите, пожалуйста, возможно, уже вышло следующее издание этой книги и оно здесь представлено:
Книга написана на основе действующей программы по математике для 5-9 классов общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Она содержит более 2800 задач, из которых около 800 даны с решениями, а остальные предназначены для самостоятельного решения. Каждая глава разбита на параграфы, большая часть которых сопровождается краткими теоретическими сведениями и методическими рекомендациями и включает достаточное количество примеров с подробными решениями. Задачи тщательно подобраны по принципу однородности тем, типов, методов решения и разбиты на две части по уровню сложности. В заключительной главе даются анализ и причины типичных ошибок, допускаемых школьниками на экзамене. Репетитор адресован учащимся 5-9 классов для самостоятельного повторения основных тем программы, подготовки к ОГЭ, олимпиадам различного уровня, а также студентам педучилищ, учителям математики и репетиторам.
К сожалению, посмотреть онлайн и прочитать отрывки из этого издания на нашем сайте сейчас невозможно, а также недоступно скачивание и распечка PDF-файл.
Большая переменаЭ.Н. БалаянРЕПЕТИТОР ПО МАТЕМАТИКЕдля 5-9 КЛАССОВ•Подготовка к ОГЭ•800 задач с решениями•Более 2000 задач для самостоятельногорешения•Олимпиадные задачи•Типичные ошибки школьников на экзаменеРостов-на-Дону ф еникс 2021УДК 373.161.1:51ББК 22.1я721КТК 444Б20Балаян Э.Н.Б20 Репетитор по математике для 5-9 классов / Э.Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2021. — 575 с. : ил. — (Большая перемена).ISBN 978-5-222-33895-7УДК 373.167.1:51 ISBN 978-5-222-33895-7ББК 22.1я721© Балаян Э.Н., 2020© Оформление ООО «Феникс», 2020ПРЕДИСЛОВИЕПредлагаемая вниманию читателя книга предназначена для самостоятельного повторения школьного курса математики 5-9 классов. Она окажет неоценимую помощь при подготовке к итоговой аттестации, а также к олимпиадам различного уровня.Книга состоит из 10 глав, каждая из которых включает несколько параграфов.Главы 1-8 посвящены основным темам программы математики 5-9 классов. Все параграфы построены в основном по одной и той же схеме: необходимый справочный материал и методические рекомендации, задачи с решениями (около 800) и для самостоятельного решения (более 2000).Учитывая, что уровень подготовки каждого школьника различен, автор счел необходимым разделить задания для самостоятельного решения на две части (за исключением §§ 21, 23 и двух последних глав).Задачи части 1 соответствуют заданиям базового и среднего уровней, поэтому умение их решать достаточно для получения положительной оценки на общеобразовательном государственном экзамене (ОГЭ), но недостаточно для более высокой оценки.Задачи части 2 являются более сложными и направлены на выработку умений и навыков на высоком уровне программных требований. Упражнения этой части могут быть использованы для организации индивидуальной работы на уроках с сильными учениками, факультативных занятиях, а также в работе математического кружка.Наличие в книге задач двух уровней сложности несомненно поможет учителю вести дифференцированное обучение учащихся.В 9-й главе приводятся олимпиадные задачи творческого характера, связанные с программным материалом 5-9 классов и направленные на формирование у учащихся навыков самостоятельной работы и приемов умственной деятельности, таких как анализ, синтез, аналогия, обобщение и др.Наличие разнообразных идей, применяемых при решении задач, таких как делимость чисел, инварианты, решение уравнений в целых числах, принцип Дирихле, монотонность функции, неравенство Коши- Буняковского, задачи чисто логического характера и др., способствует резкой активизации мыслительной деятельности и умственной активности.Ко всем задачам приводятся ответы, указания и решения, причем многие задачи решены различными способами, чтобы школьники могли ознакомиться с сущностью рациональности решения.Автор настоятельно рекомендует обращаться к решениям, даже когда задача решена, или после многократных, но безуспешных попыток самостоятельно ее решить. Только в этом случае работа над задачей принесет несомненную пользу.В заключительной главе рассматриваются типичные ошибки школьников на экзамене, в том числе вычислительные, ошибки в тождественных преобразованиях, при решении различных типов уравнений, неравенств, исследовании функции и построении графиков. Ошибки классифицированы, указаны их причины и приведены правильные решения.Предисловие •>» 5Для устранения пробелов в знаниях учащихся приводятся примеры для самостоятельного решения, которые помогут закрепить усвоенный материал (отмечены темными кружочками перед каждым номером, например, * 19).5 КЛАССГлава 1НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА§ 1. Натуральные числа и шкалы1.1.Натуральные числаЭто последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, ...Число 1 — наименьшее натуральное число. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нем нет.Число 0 не является натуральным.Если запись числа состоит из одного знака — цифры, то его называют однозначным.Например, числа 1, 6, 9 — однозначные. Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр, то его называют двузначным.Числа 13, 29, 37, 89 — двузначные, 183, 566, 999 — трехзначные и т. д.1.2.Отрезок. Длина отрезка. ТреугольниккОтрезок — это часть прямой, * ограниченная с двух сторон.—Точки АиВ — концы отрезка.Обозначение: АВ или ВА.•NТочка М расположена на отрезке АВ, а точки К и N — вне отрезка.Обозначение: М е. АВ (М принадлежит АВ);А е АВ (А принадлежит АВ);В g АВ (В принадлежит АВ);К i АВ, N t. АВ (К и N не принадлежат АВ).Точки А, В и С — вершины треугольника, а отрезки АВ, ВС и АС — стороны треугольника.MNKL — четырехугольник.Приведенные фигуры называются многоугольниками.1.3.Плоскость. Прямая. ЛучПримеры плоскостей: лист бумаги, поверхность стола, доски.Если соединить две точки и провести через них по линейке линию, то получим прямую.,,Обозначение: прямая АВАвили прямая ВА.Через любые две точки можно провести лишь одну прямую.Прямая бесконечна, т. е. не имеет концов.Всякая прямая делит плоскость на две части, две полуплоскости.Если прямую АВ разделить —*♦*точкой О, то получим два луча: луч ОВ и луч ОА.Точка О — начало луча, поэтому переставлять буквы в их названиях нельзя.В отличие от прямой — луч бесконечен только в одну сторону.1.4.Шкалы и координатыШкалы встречаются на линейке, термометре, часах и т. д.О А В С I111111—►х0123456На рисунке изображен луч ОХ.Точка О — начало луча, под ней число 0, под точкой А — число 1.Отрезок ОА называется единичным отрезком.Луч ОХ называется координатным лучом.Числа 0, 1, 2, 3 ..., соответствующие точкам О, А, В, С ..., называются координатами этих точек и записываются так: О (0), А(1), В(2) и т. д.1.5.Сравнение чиселЧисло, которое при счете называют раньше, меньше того, которое при счете называют позже.Число 1 меньше, чем 5, а число 8 больше, чем 5.Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой.Например, точка В(2) лежит левее точки С(3) (см. рисунок выше).Ноль меньше любого натурального числа.При сравнении чисел используют знаки > (больше), < (меньше), = (равно).Например: 1 < 7, 8 > 2, 5 = 5.Число 2 меньше, чем 4, но больше, чем 1. Это записывается в виде двойного неравенства: 1 < 2 < 4.Легкий способ запоминания знаков > или < для сравнения чисел:меньшее число должно находиться с острого (маленького) конца знака, а большее — с широкого (большого) конца знака.Например: 6 < 8, 8 > 6.§2. Сложение и вычитание натуральных чисел2.1.Сложение натуральных чисел и его свойстваСлагаемые — это числа, которые складывают, а результат их сложения называется суммой.Например: 3 + 5 = 8, где 3 и 5 — слагаемые, 8 — сумма.Если переставить слагаемые местами, то сумма не меняется:2 + 7 = 7 + 2 = 9.Это свойство называется переместительным:а + b = Ь + а.Для трех и более чисел:2 + (4 + 3) = (2 + 4) + 3 = (2 + 3) + 4 = 9. Значит, а + (Ь + с) = (а + Ь) + с = b + (а + с). Это свойство сложения называется сочетательным.Если к числу прибавить ноль, то сумма равна самому числу.Например: 6 + 0 = 6.Верно и обратное: при прибавлении числа к нулю сумма равна прибавляемому числу:0 + 6 = 6.Значит, а + 0 = а, 0 + а = а.2.2.Вычитание натуральных чисели его свойства19 — 8 = 11, где 19 — уменьшаемое, 8 — вычитаемое, 11 — разность.Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым, а число, которое вычитают, — вычитаемым.Результат вычитания называется разностью.Разность двух чисел показывает, на сколько уменьшаемое больше вычитаемого или на сколько вычитаемое меньше уменьшаемого:8 - 3 = 5, 8 > 3,8 больше 3 на 5.Пример 1.627 - (227 + 34) = 627 - 261 = 366.Проще считать так: 627 - (227 + 34) = 627 - 227 --34 = 400 - 34 = 366.Значит, а - (Ъ + с) = а - Ъ - с.Это свойство называется свойством вычитания суммы из числа.Пример 2. 463 - 35 - 65 = 428 - 65 = 363.Решим проще: 463 - 35 - 65 = 463 - (35 + 65) = = 463 - 100 = 363.Это свойство вычитания числа из суммы.Пример 3. (649 + 174) - 349 = 823 - 349 = 474.Проще решить так: (649 + 174) - 349 = 649 --349 + 174 = 300 + 174 = 474.2.3.УравнениеУравнением называется равенство, содержащее неизвестное.Например: х + 3 = 8.Если х = 5, то 5 + 3 = 8 — верно;если х = 6, то 6 + 3 = 9 — неверно.Число х = 5 называется корнем уравнения.Значит, корнем уравнения называется число, которое при подставлении в уравнение обращает его в верное числовое равенство.Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что их нет.Пример 1. х + 34 = 73.х = 73 - 34, или х = 39 — корень уравнения, так как 39 + 34 = 73 — верно.Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из сум- \ мы вычесть известное слагаемое.Пример 2. у - 14 = 55.у = 55 + 14, или у = 69 — корень уравнения, так как 69 - 14 = 55 — верно.( Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сло- \ жить разность и вычитаемое.Пример 3. 69 - а = 28.а = 69 - 28, или а = 41 — корень уравнения, так как 69 - 41 = 28 — верно.( Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из \ уменьшаемого вычесть разность.Пример 4. Две дыни весят 8 кг, причем масса одной из них 3 кг. Найти массу другой дыни.Решение.Пусть масса второй дыни х кг. По условию задачи масса двух дынь 8 кг. Тогда получим уравнение х + 3 = 8, откуда х = 8 - 3, или х = 5. Значит, масса второй дыни 5 кг.Ответ: 5 кг.§3. Умножение и деление натуральных чисел3.1.Умножение натуральных чисел и его свойстваВыражение вида a • b, а также значение этого выражения называется произведением чисел а и Ь.Числа а и Ь называются множителями.7 • 3 = 21, где 7 и 3 — множители, 21 — произведение.a • Ь = Ь • a — переместительное свойство умножения.a • (Ь • с) = Ь • (а • с) = с • (а • Ь) — сочетательное свойство умножения.Например: (7 • 3) • 2 = 21 • 2 = 42, или 7 • (3 • 2) = = 7 • 6 = 42, или 3 • (7 • 2) = 3 • 14 = 42.Вместо 6 • а пишут 6а, вместо а • b пишут аЬ.Аналогично вместо 4 • (т + п) пишут 4(тп + п), вместо (а + 8) • (6 + 3) пишут (а + 8)(6 + 3), вместо а • (Ь • с) пишут abc.3.2.Деление натуральных чисел и его свойстваДеление — это действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят второй множитель.Например: 48 : 12 = 4, где 48 — делимое, 12 — делитель, 4 — частное.Число, которое делят, называется делимым, число, на которое делят, называется делителем, а результат деления называется частным.Частное показывает, во сколько раз делимое больше делителя.Выражение вида а : 0 не имеет смысла:а • 1 = а, а : 1 = а и а : а = 1.3.3.Деление с остатком16 : 5 = 3 (1 остаток).16 — делимое, 5 — делитель, 3 — неполное частное, 1 — остаток.15: 5 = 3.Если в остатке ноль, то делимое делится на делитель нацело (без остатка).16= 5 • 3 + 1.Чтобы найти делимое, надо перемножить делитель и неполное частное и прибавить остаток.3.4.Порядок выполнения действийIступень — сложение и вычитание',IIступень — умножение и деление.Пример 1. Найти значение выражения 34 + 66 - - 28 -32.Решение.1) 34 + 66 = 100; 2) 100 - 28 = 72;3) 72 - 32 = 40.Ответ: 40.Пример 2. Вычислить: 48 : 6 * 22 : 16 * 3.Решение.1) 48 : 6 = 8;2) 8 • 22 = 176;3)176:16 = 11;4)11-3 = 33.Ответ: 33.Пример 3. Вычислить: 35 - 6 • 3 : 2 + 7 • 7. Решение.1) 6 • 3 = 18;2) 18 : 2 = 9;3) 7 • 7 = 49;4) 35 - 9 = 26;5) 26 + 49 = 75.Ответ: 75.Пример 4. Вычислить: 63 : (44 - 38 + 3) - 18 : 6. Решение.1) 44 - 38 = 6;2) 6 + 3 = 9;3) 63 : 9 = 7;4) 18 : 6 = 3;5) 7 - 3 = 4.Ответ: 4.3.5.Упрощение выраженияРассмотрим два выражения:(4 + 3) • 5 и 4 • 5 + 3 • 5,(4 + 3) • 5 = 7 • 5 = 35 и 4 • 5 + 3 • 5 = 20 + 15 = 35. Как видим, значения обоих выражений равны 35. Значит, (4 + 3) • 5 = 4 • 5 + 3 • 5.С помощью букв получим{а + Ь) • с = а • с + b • с.Это свойство умножения называется распределительным свойством умножения.Аналогично (а - Ь) • с = а • с - Ь • с.Например: (9 - 4) • 3 = 9 • 3 - 4 • 3.Используя распределительное свойство умножения, можно упрощать буквенные выражения.Например: 4х + 3х = 4- х + 3- х = (4 + 3) • х = 7х; 5а + а = 5- а + 1- а = (5 + 1)-а = 6а;7у - 2у = 7 • у - 2 • у = (7 - 2) • у = 5у;8& - & = 8 • & - 1 • & = (8 - 1) • & = 7&.3.6.Степень числа. Квадрат и куб числаЗапись 25 читается так:2 в пятой степени обозначает произведение пяти множителей, каждый из которых равен двум.Число 2 называется основанием степени.Число 5 — показатель степени, показывает, сколько множителей в произведении.Примеры:а) 3 • 3 • 3 = З3 = 27; б) 5 • 5 • 5 • 5 = 54 = 625;в) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 26 = 64.Число х во второй степени х2 = х • х называют х в квадрате.Аналогично х3 = х • х • х называют х в кубе. Примеры:а) З3 + 24 = 27 + 16 = 43; б) З2 • 42 = 9 • 16 = 144; в) (3 + 5)2 = 82 = 64.§4. Формулы скорости, плошали и объема4.1. Формулы. Формула скорости, путиv = S : t — формула скорости, где S — путь, t — время.S = v • t — формула пути.4.2.Плошадь. Формула плошали прямоугольникаS = a • Ь, где a — длина, Ь — ширина, S — площадь.Если длина и ширина выражаются в см, то площадь выражается в см2.Если длина и ширина вы-ражаются в метрах, то площадь будет измеряться в м2. ь1 га = 100 м • 100 м == 10 000 м2;1 а = 10 м • 10 м = 100 м2.aТак как 1 дм = 10 см, то 1 дм2 = 1 дм • 1 дм = = 10 см • 10 см = 100 см2.Значит, 1 дм2 = 100 см2.Аналогично, 1 м = 10 дм, 1 м2 = 10 дм • 10 дм = = 100 дм2.Кроме того, 1 м2 = 100 дм2 = 100 см • 100 см = = 10 000 см2.1 см2 = 1 см • 1 см = 10 мм • 10 мм = 100 мм2.Если длина и ширина прямоугольника записаны в разных единицах, то их надо привести к одной единице измерения длины.4.3.Прямоугольный параллелепипед. Объем.У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер, 6 граней, 8 вершин.Все грани — прямоугольники.Если a — длина, b — ширина, с — высота, то площадь всей поверхности равна:S = 2(аЬ + Ьс + ас), V = а-Ь • с — объем.а, Ь, с называют измерениями параллелепипеда.Если а = & = с, т. е. измеренияпараллелепипеда равны, то получим куб.У куба все грани — равныеквадраты.Поверхность куба S = 6а2. Объем куба V = а • а • а = а3. Если а = 1 см, то V = 1 см3.ааГлава 2ДРОБНЫЕ ЧИСЛА§5. Обыкновенные дроби5.1. Окружность и кругОкружностью называется кривая замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от ее центра.О — центр окружности.Отрезок, соединяющий центр окружности с точкойна окружности, называется радиусом.АО = ОВ = ОС = R — радиус.Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.D = АВ — диаметр, АВ = 27?.Часть плоскости, ограничен-Окружностьная окружностью, называется кругом.Часть окружности называется дугой.vjAC — дуга АС, иСВ — дуга СВ, иАСВ — дуга АСВ.5.2. Доли. Обыкновенные дробиЗапись — называется обыкновенной дробью.Число 3, написанное над чертой, называется числителем дроби, а число 5, написанное под чертой, — знаменателем дроби.Знаменатель показывает, на какое количество частей разделили, а числитель — сколько взято таких частей.Дроби можно изображать на координатном луче:АЕi1111111—►°1234561777777Отрезок ОА = у ОЕ.Отрезок ОЕ — единичный отрезок.5.3.Правильные и неправильные дробиДробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной.„3723Например: —, —, .411149Дробь, у которой числитель больше или равензнаменателю, называется неправильной.Например: —,533’114 ’20202020'Глава 8ПРОГРЕССИИ§31. Арифметическая прогрессияАрифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждое число,начиная со второго, равно предыдущему, сложенному с постоянным для данной последовательности числом.Это постоянное число называется разностью прогрессии и обозначается буквой d.Арифметическая прогрессия обычно обозначается («»)•Из определения следует: а2 - аг = а3 - а2 = ... = = ап- ал_! = d.Если d > 0, то прогрессия называется возрастающей, если d < 0 — убывающей.Последовательность (ап) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда для любогоравенствоЭто свойство называется характеристическим свойством арифиметической прогрессии.ап = аг + (п - 1) d - формула n-го числа, где п - число членов.Формула суммы п первых членов арифметическойпрогрессии имеет видД1 + °п2■п.Так как ап = аг + (п - 1) d, то получим II формулусуммы п первых членов:_2a1 + (n-l)d—Пример 1. Определить последний член арифметической прогрессии, в которой ar = 8, d = 5, n = 15.Решение.По формуле an = a1 + (п- 1) d имеема15 = 8 + (15 - 1) ■ 5 = 8 + 14 • 5 = 78.Ответ: 78.Пример 2. Найти сумму членов арифметической прогрессии, в которой аг = 100, d = -2, п = 50.Решение.Так как п = 50, то, используя II формулу суммы п первых членов, имеемs^2.100+(5Q-l).(-2)50t2S50 = 20°~98 • 50 = 51 • 50 = 2550.Ответ: 2550.Пример 3. Вычислить сумму всех двузначных натуральных чисел.Решение.Дано: а1 = 10, d=l, ап=99, тогда an=a1 + (n-l)d, или 99 = 10 + (п - 1) • 1, откуда п = 90, тогда= Д1 + оп .s = (Ю+ 99)-90 ==2 90 2Ответ: 4905.Пример 4. Найти х из уравнения1+ 4 + 7 + ... + х = 117.Решение.Заметим, что левая часть уравнения представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, в которой Oj = 1, d = 3, an = х.an = ar + (n - 1) d, suitl x = 1 + (n - 1) 3, x = 3n - 2.Используя формулу суммы членов арифметическойпрогрессии Sn = — ■ п, имеем2^-^■п = 117, или (1 + х) п = 234.Так как х = Зп - 2, то п = — (х + 2), тогда получим 3уравнение (1+х)-—(х + 2) = 234, или (1 + х) ■ (х + 2) = 3702, х2 + Зх - 700 = 0, откуда находим х7 = 25, х2 = -28 (не подходит, так как d > 0).Итак, х = 25.Ответ: 25.Пример 5. Между числами 7 и 35 вставить 6 чисел так, чтобы они вместе с данными числами составили арифметическую прогрессию.Решение.Из условия имеем ar = 7, ая = 35. Задача сводится к определению разности d прогрессии по формулеап = а, + (n - l)d; 35 = 7 + (8 - 1) • d, 7d = 28,d = 4. Тогда а2 = а7 + d = 7 + 4 = 11, а3 = а2 + d = 15, а4 = 19, а5 = 23, а6 = 27, а7 = 31.Ответ: 11; 15; 19; 23; 27; 31.Пример 6. Определить первый член и разность арифметической прогрессии, в которой а7 - а3 = 8, а2 - а7 = 75.Решение.Нам надо найти аг и d. Имеем систему a1+6d-(a1 + 2d) = 8, [d = 2, (a1 + d)(a1 + 6d) = 75,(а1+2)(а1 + 12) = 75.Из II уравнения системы имеем of+ 140^-51 = 0, откуда (ajj = -17, (aj., = 3.Ответ: •«1 =-17, d = 2.Oi — З, d = 2.Пример 7. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (ап), если а6 + ав + а12 + + о15 = 20.Решение.Заметим, что аг + а20 = а6 + а15 = ав + а12, тогда+ а20 = 20 : 2 = 10, и так как Sn = 01 + °п • д, то на-2ходим S20 = 01 + 020 20 = — ■ 20 = 100 .22Ответ: 100.Пример 8. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15, а сумма квадратов этих же чисел равна 93. Найти эти числа.Решение.Пусть а1г а2, а3 — искомые числа, образующие арифметическую прогрессию, тогда имеем систему уравненийах + а2 + а3 =15,а? + а2+а3 =93.Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, получим аг + а3 = 2а2, тогда I уравнение системы примет вид За2 = 15, откуда а2 = 5.Подставляя значение а2 = 5 во II уравнение, имеем of + а3 = 68, или of + (о, + 2d)2 = 68.Кроме того, а2 = аг + d = 5, тогда of + (5 + d)2 = 68.Выразим d через ах; d = 5 - аг, значит,of+ (10-a1)2 =68, 2^-20^ + 32 = 0, илиaf-10a1 + 16 = 0, откуда (a^ = 2, (a^ = 8 и dr = 3, d2 = -3.Ответ: 2, 5, 8.Глава 9ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 5-9 КЛАССОВ§34. Условия задач5класс1.Мальчик нарисовал 4 луча с началом в точке О. Сколько острых углов получилось?2.Гусеница ползет по стволу тополя. За первый час она поднялась на 10 см, за второй час опустилась на 4 см, за третий час вновь подняласьна 10 см, а за четвертый — опустилась на 4 см. Так гусеница продолжала подниматься и опускаться в течение нескольких часов. На сколько гусеница поднимется за 11 ч?3.Вписать в квадратики цифры от 0 до 9 без повторений так, чтобы получились три верных примера насложение. Найти все решения.4.Не производя указанных действий, установить, правильной или неправильной дробью является число1915-2021-106 1915 + 2021-1914'5.Найти такие пары натуральных чисел, сумма которых больше их произведения.6.В классе 17 пловцов, 6 борцов и 13 шахматистов. Известно, что каждый спортсмен занимается двумя видами спорта. Сколько в классе спортсменов?7.Заполнить пустые клетки так, чтобы сумма чисел в трех любых соседних клетках как по вертикали, так и по горизонтали равнялась 13.8.На какое наибольшее число частей можно разрезать круглый торт пятью прямолинейными разрезами?9.Найти наименьшее натуральное число, которое кратно числам 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10.10.Расставить в записи 4 ■ 12 + 18 : 6 + 3 скобки так, чтобы получился наименьший возможный результат.11.На сколько процентов увеличится объем прямоугольного параллелепипеда, если длину и ширину его увеличить на 10%, а высоту уменьшить на 10% ?12.В одном доме живут 23 ученика одной и той же школы. В этой школе 22 класса. Доказать, что хотя бы два ученика, живущих в этом доме, учатся в одном и том же классе.13.Который сейчас час, если оставшаяся часть суток втрое больше прошедшей?14.Разделить 8 л молока поровну, имея посуду емкостью 3 л и 5 л.15.4 землекопа за 4 ч выкопали 4 ямы. Сколько ям выкопают 8 землекопов за 6 ч?16.Составить 3 арифметических примера на три разных действия, причем в эти примеры должны войти по одному разу все цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например: 7 + 1 = 8; 9-6 = 3; 4-5 = 20.17.Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 100. Найти уменьшаемое.18.Найти наименьшее число, которое записано только единицами и делится на 33.19.Сколько раз цифра 7 встречается в записях всех чисел от 50 до 100?20.Одно число в 13 раз больше другого. Во сколько раз НОК этих чисел больше их НОД?21.Сколько треугольников на рисунке?22.Вычислить1111111111—I 1Ь.. • 4 11 Ь • • • 4...2 2 22 4 44 100 10010013 раз7 раз25 раз23.Восстановить цифру а в числе 7аа4, которое делится на 9.24.Сколько слагаемых с числителем 1 пропущено4312в примере——= 3?25.В прямоугольнике размерами 50 дм х 12 дм большую сторону уменьшили на 50%, а меньшую увеличили на 150%. Как изменилась площадь прямоугольника?526.До конца суток осталось — того времени, что3уже прошло от начала суток. Сколько сейчас времени?27.Можно ли в записи 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = = 30 вместо * поставить (в любом порядке) знаки «+» и «-» так, чтобы получилось верное равенство?28.Сумма цифр а и & делится на 13. Докажите, что число aba также делится на 13.29.Хулиган Вася в наказание за полученную двойку получил на дом пример: вычислить1-2 + 2 -3 + 3 -4 + .. .99 100.Потратив всю ночь, Вася вычислил и получил 20 102 011. Доказать, что он ошибся.30.К числу прибавили i его, а затем вычли i2 2 суммы и получили 333. Найти число.31.Найти все двузначные числа, которые уменьшаются в 13 раз при зачеркивании последней цифры.2132.Как от веревки длиной — м отрезать — м, не32пользуясь никакими измерительными приспособлениями?33.Руслану выставили годовые оценки по 12 предметам. Его средний балл был 3,5. По скольким предметам ему надо повысить свои оценки на 1 балл, чтобы средний балл стал равен 4?34.Все натуральные числа от 1 до 999 выписали в ряд, получилось многозначное число. Найти сумму его цифр.35.Найти 8 последовательных целых чисел, сумма первых трех из которых равна сумме остальных пяти.36.Расставить по кругу 4 единицы, 3 двойки и 3 тройки так, чтобы сумма любых трех подряд стоящих цифр не делилась на 3.37.Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы получить трехзначное число, записываемое одинаковыми цифрами?38.Найти сумму: 1 + 3 + 5 + ... + 99.В координатной системе Оах отметим штриховкой область, заданную указанными неравенствами.Ответ: при а < 1 решений нет;Гс ля + 3при а > 1, х е 6-4а; .23. Решение.Имеем ххОО + уу = г2, или ИООх + lly = г2, 11(100х + у) = г2, значит, г = 11т, где т е N, тогда 100х + у = 11т2, или х + у = 11(т2 - 9х).Поскольку х + у делится на 11 и х < 9, у < 9, то х + у=11, тогда т2 = 9х + 11, где 1 < х < 9. Следовательно, х = 7, т = 8, у = 4, г = 11т = 88.Ответ: (7; 4; 88).ОТВЕТЫ5 КЛАССГлава 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА§§1-7Часть 11. а) 13 293; б) 4 016 000 013. 2. а) 117 единиц. 3. а) 4232 кг; б) 15 731 кг. 4. а) 6 кг 723 г; б) 27 кг 543 г. 5. четырехзначное. 6. 42 гриба. 7. а) 64; б) 122. 8. а) 94; б) 293. 9. 148 см. 10. а) 374; б) 256. 11. а) 95; б) 2. 12. 154 см. 13. а) 37; 6)111. 14. а)х = = 111; б) у = 44; в) a = 42. 15. а) 2754; б) 4326. 16. а) 367; б) 494. 17. а) 322; б) 32. 18. а) х = 6; б) у = 16. 19. а) 16 — неполное частное, 9 — остаток; б) 27 — неполное частное, 3 — остаток. 20. а) 1080; б) 6800. 21. а) х = 3; б) у = 10. 22. 23. 23. 98. 24. а) 61; б) 280. 25. х = 19. 26. а) 75 км/ч; б) 200 м/мин. 27. а) 20 км; б) 150 м. 28. 40 см2. 29. 12 см. 30. а) 20 000 м2; 1200 м2; 30 500 м2; б) 3 га; 415 га. 31. а) 900 см2. 32. 222 см2. 33. 120 см3. 34. а) 2032 дм3; б) 5310 дм3.Глава 2. ДРОБНЫЕ ЧИСЛА40.1726’5911’ 1111 - '14- •8 13’35. 6 см. 36. MN = — . 37. 2700 л. 38. а) 53393914-11’ И’ И’752.. -1 пг 1—; —; —. 41. 12 деталей. 42. — 13131322х =—. 44. — = 7. 45. 60. 46. а) а = 7; б) & = 4. 133ОГЛАВЛЕНИЕ5КЛАССГлава 1. Натуральные числа6§ 1. Натуральные числа и шкалы61.2.Отрезок. Длина отрезка. Треугольник ... 61.3.Плоскость. Прямая. Луч71.4.Шкалы и координаты81.5.Сравнение чисел8§2. Сложение и вычитание натуральных чисел92.1.Сложение натуральных чисели его свойства92.2.Вычитание натуральных чисели его свойства102.3.Уравнение10§3. Умножение и деление натуральных чисел123.1.Умножение натуральных чисели его свойства123.2.Деление натуральных чисели его свойства123.3.Деление с остатком133.4.Порядок выполнения действий133.5.Упрощение выражения143.6.Степень числа. Квадрат и куб числа15§4. Формулы скорости,площади и объема154.1.Формулы. Формула скорости, пути154.2.Площадь. Формула площадипрямоугольника154.3.Прямоугольный параллелепипед.Объем16Глава 2. Дробные числа18§5. Обыкновенные дроби185.1.Окружность и круг185.2.Доли. Обыкновенные дроби195.3.Правильные и неправильные дроби195.4.Сравнение дробей205.5.Сложение и вычитание дробейс одинаковыми знаменателями205.6.Деление и дроби215.7.Смешанные числа21§6. Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей226.1.Десятичная запись дробных чисел226.2.Сравнение десятичных дробей236.3.Сложение и вычитание десятичныхдробей246.4.Приближенные значения чисел.Округление чисел25§ 7. Умножение и деление десятичных дробей267.1.Умножение десятичных дробей267.2.Деление десятичных дробей287.3.Среднее арифметическое297.4.Проценты30Задачи30Часть 130Часть 2376КЛАССГлава 3. Обыкновенные дроби43§8. Делимость чисел438.1.Делители и кратные438.2.Признаки делимости на 10,на 5 и на 2458.3.Признаки делимости на 9 и на 3468.4.Простые и составные числа498.5.Разложение на простые множители508.6.Наибольший общий делитель (НОД).Взаимно простые числа518.7.Наименьшее общее кратное (НОК)52Задачи54Часть 154Часть 256§9. Сложение и вычитание дробей с разнымизнаменателями579.1.Основное свойство дроби579.2.Сокращение дробей589.3.Приведение дробей к общемузнаменателю599.4.Сравнение, сложение и вычитаниедробей с разными знаменателями619.5.Сложение и вычитаниесмешанных чисел63Задачи66Часть 166Часть 269§ 10. Умножение и делениеобыкновенных дробей7210.1.Умножение дробей7210.2.Нахождение дроби от числа7310.3.Применение распределительногосвойства умножения7410.4.Взаимно обратные числа7710.5.Деление дробей7810.6.Нахождение числа по его дроби7910.7.Дробные выражения80Задачи84Часть 184Часть 287§11. Отношения и пропорции9011.1.Отношения9011.2.Пропорции9211.3.Прямая и обратнаяпропорциональные зависимости9611.4.Масштаб9911.5.Длина окружностии площадь круга10111.6.Шар104Задачи106Часть 1106Часть 2107Глава 4. Рациональные числа108§ 12. Положительные и отрицательные числа10812.1.Координаты на прямой10812.2.Противоположные числа11012.3.Модуль числа11212.4.Сравнение чисел112Задачи113Часть 1113Часть 2113§ 13. Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел11513.1.Сложение чисел с помощьюкоординатной прямой11513.2.Сложение отрицательных чисел11613.3.Сложение чиселс разными знаками11613.4.Вычитание117Задачи117Часть 1117Часть 2118§ 14. Умножение и деление положительныхи отрицательных чисел11914.1.Умножение11914.2.Деление12014.3.Рациональные числа12114.4.Свойства действийс рациональными числами122Задачи124Часть 1124Часть 2125§15. Решение уравнений12715.1.Раскрытие скобок12715.2.Коэффициент12815.3.Подобные слагаемые12915.4.Решение уравнений129Задачи131Часть 1131Часть 2132§ 16. Координаты на плоскости13416.1.Координатная плоскость13416.2.Перпендикулярные прямые13516.3.Параллельные прямые135Задачи136Часть 1136Часть 21377-9 КЛАССЫГлава 5. Тождественные преобразования выражений139§17. Преобразование алгебраическихвыражений13917.1.Формулы сокращенногоумножения13917.2.Свойства степеней13917.3.Свойства арифметических корней .... 139Задачи154Часть 1154Часть 2155Глава 6. Алгебраические уравнения и системы уравнений160§ 18. Линейные уравнения160Задачи164Часть 1164Часть 2165§ 19. Системы линейных уравнений16619.1.Способ подстановки16719.2.Способ сложения16819.3.Графический способ решениясистем I степени171Задачи173Часть 1173Часть 2174§20. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным. Теорема Виета и ее применение17620.1.Неполные квадратные уравнения17920.2.Квадратные уравнения общего вида.. 18020.3.Уравнения, сводящиесяк квадратным18120.4.Применение теоремы Виета183Задачи186Часть 1186Часть 2186§21. Алгебраические уравнения высших степеней188Задачи для самостоятельного решения210§22. Системы нелинейных уравнений212Задачи224Часть 1224Часть 2224§23. Текстовые задачи22723.1.Задачина числовые зависимости22723.2.Задачина «движение»23023.3.Задачина «совместную работу»23423.4.Задачина «сплавы и смеси»23723.5.Задачина «проценты»23923.6.Задачина «разбавление»242Задачи244Задачи на составление уравненийI степени244Задачи на составление системуравнений I степени246Задачи на составление квадратныхуравнений247Задачи на составление систем уравнений II степени249§24. Иррациональные уравненияи системы уравнений25024.1.Метод возведения обеих частейв одну и ту же степень25124.2.Метод введения новых переменных ..25424.3.Искусственные приемы решения259Задачи268Часть 1268Часть 2269§25. Уравнения и системы уравнений с модулем....27125.1.Уравнения с модулем27225.2.Системы уравнений с модулем277Задачи278Часть 1278Часть 2278Глава 7. Неравенства и системы неравенств280§26. Линейные неравенства280Задачи282Часть 1282Часть 2282§27. Рациональные неравенства28327.1.Простейшие неравенства,представленные в виде произведения линейных множителей28327.2.Простейшие неравенства,разлагающиеся на линейные множители28527.3.Простейшие дробно-рациональныенеравенства без кратных корней28527.4.Неравенство, содержащее множитель, не принимающий нулевого значенияна числовой прямой28727.5.Простейшие неравенствас кратными корнями289Задачи290Часть 1290Часть 2291§28. Системы неравенств293Задачи300Часть 1300Часть 2301§29. Неравенства с модулем302Задачи310Часть 1310Часть 2311§30. Иррациональные неравенства312Задачи317Часть 1317Часть 2317Глава 8. Прогрессии319§32. Геометрическая прогрессия323§33. Разные задачи на прогрессию332Задачи335Часть 1335Часть 2337Глава 9. Олимпиадные задачи по математикедля 5—9 классов341§34. Условия задач3417класс3598класс3709класс382§35. Ответы, указания, решения3925класс3926класс4017класс4108класс4289класс469Глава 10. Типичные ошибки школьниковна экзамене513§36. Вычислительные ошибки51336.1.Действия с обыкновеннымии десятичными дробями51336.2.Нахождение значений выражений,содержащих степени51436.3.Нахождение значений выражений,содержащих корни515§37. Ошибки в тождественных преобразованиях51637.1.Действия с многочленами51637.2.Действия с алгебраическимидробями51737.3.Преобразование выражений, содержащих корни и степенис дробными показателями519§38. Ошибки при решении различных типовуравнений521§39. Ошибки при решении неравенств528§40. Ошибки при исследовании функций,их свойств и построении графиков5355класс5426класс5447-9 классы554Литература566ЕЯ[Учебное изданиеБалаян Эдуард НиколаевичРЕПЕТИТОРПО МАТЕМАТИКЕДЛЯ 5-9 КЛАССОВОтветственный редактор С. Осташов Технический редактор Л. Багрянцева